Limites

7193 palavras 29 páginas

Capítulo 3

LIMITE E CONTINUIDADE
3.1 Limites

O desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite. Por exemplo, as deﬁnições de derivada e de integral deﬁnida, independente de seu signiﬁcado geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites. Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu função domínio. Por exemplo, seja

É claro que . Estudaremos a função nos valores de que ﬁcam próximos de , mas sem atingir . Para todo temos que . Vamos construir uma tabela de valores de aproximando-se de , pela esquerda ( ) e pela direita ( ) e os correspondentes valores de :

Observando as tabelas, podemos veriﬁcar que: “à medida que vai se aproximando de , os vão aproximando-se de ”. A noção de proximidade pode ﬁcar mais precisa valores de utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer é . aproxima-se de zero, então Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se 99

f $h§ f f §7g f 5e@eacd§ b © ¥ F¨§¦£ § V I I I ( b X YYYYYI ( VXXXX YYYYYQX( YYYYYQX( I XXXXX V YYYIYI XIIIII VXXX YYYYQX( XXXX YYYYQX( II (b III ( V IYYY(I I b X IYIYIYY(I I VXX YYYQX( XXX YYYQX( I V YIY( I b X YYYI VX YYQX( XX YYQX( I I ( V Y(I I b X YY(I I V YQX( X YQX( I V (Ib X IY(I I QV( QX( I UT( b ( QW( QV( I T QP( UT( SR( I UTaT ( SR( QP( II P I © ¥ F¨§¦£ D H`§ © ¥ ¨§¦£ C HG§ © ¥ F¨§¦£ ED¢§ ¢§ C § B"!§ A¨§¦£ ¡© ¥ © 10 43£¥ 2) @ § § 96 5 ¡ © 10 287 ¢¦43£¥ 2) § !§ © ¥© " % '¨§&%$#§ ¥ ¡ § ¦¨§¦£ § ¡© ¥ (

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100

CAPÍTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

também se aproxima de zero; em outras palavras: para que seja pequeno é necessário que também seja pequeno. O número é chamado limite de quando está próximo de . No exemplo, temos ; logo, a distância de a é igual a duas

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Monteiro. Limites Laterais Limites Laterais Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita….

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