Limites

Lista de Exercícios de Cálculo 3
Funções, Limites e Derivadas
Parte A
1. Dada a função f (x, y) = 5x2 + 7xy, calcule o valor das expressões
• [(a)] f (3, −4)

√

• [(b)] f ( a, b)
2. Ache o limite

y+1
·
(x,y)→(π/2,1) 2 − cos x lim 3. Calcule o limite abaixo

x4 − (y − 1)4
·
(x,y)→(0,1) x2 + (y − 1)2 lim 4. Determine todos os pontos onde a função

x2
·
y−1

f (x, y) = é descontínua.
5. Dada a função

f (x, y) =

4x2 − y 2
,
2x − y

determine
• [(a)] O domínio de f .
• [(b)] O conjunto de pontos do domínio para os quais f é descontínua.
6. Determine

∂w
, onde
∂x
w(x, y) =

x2 + y 2
·
y 2 − x2

7. Encontre as derivadas parciais da função

√ f (t, v) = ln
8. Determine as derivadas parciais

t+v
·
t−v

∂f
∂f
(x, y) e
(x, y) da função
∂x
∂y y ln sen t dt.

f (x, y) = x 1

9. Calcule

∂w ∂w e utilizando a regra da cadeia, sabendo que w = usenv; u = x2 + y 2 e v = xy.
∂x ∂y

10. Sabendo que u = ey/x , x = 2r cos t e y = 4rsent, calcule
11. Calcule

∂u ∂u e ·
∂r ∂t

∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f
∂ 2f e , onde
,
,
∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x f (x, y) =

y x2 − 2· y x

f (x, y) =

x4 − y 4
·
x2 − y 2

Parte B
1. Encontre o domínio da função

2. Calcule o limite dado

sec xy + sec yz
·
(x,y,z)→(π/3,1,π) y − sec z lim 3. Ache o limite

y 2 − 4y + 3
·
(x,y,z)→(2,3,1) x2 z(y − 3) lim 4. Use coordenadas polares para achar o limite

xy 2
·
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim Obs: realize a mudança de coordenadas (x, y) = (r cos θ, rsen θ).
5. Dadas as funções f (x, y) = x2 − y 2 e g(t) = (t2 − 4)/t, determine os pontos para os quais a

função h(x, y) = g(f (x, y)) é contínua.

6. A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T graus e

2
T (x, y) = 54 − x2 − 4y 2 .
3
Se a distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y, respectivamente, no ponto (3, 1).
7. A resistência R ohms de um circuito elétrico é dada pela fórmula R = E/I, onde I é a corrente

em ampères e E a força eletromotriz