limites

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Noção de Limite de uma Função
Definição:
Intuitivamente dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se é possível tomar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomamos valores de x, x ≠ a, suficientemente próximos de a.
Formalmente, temos: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f uma função definida em I, excepto, possivelmente, no próprio a. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos , se para todo existir um tal que se .
Em símbolos temos: .
Observação: Para a definição do limite, quando x tende a a, não é necessário que a função esteja definida em a e pode ocorrer que a função esteja definida em a e O que interessa é o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a e não que ocorre com f quando x = a.

Exemplo 1: Considere a função definida para todo real e

Observe os valores da função f quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce ilimitadamente. Observe também o seu gráfico.

Esta função se aproxima de 1 quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce ilimitadamente. Dizemos que esta função tende a 1 quando x tende a e quando x tende a e denotamos e Além disso, observando o gráfico da função, podemos dizer que f(x) cresce ilimitadamente quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0 e que f(x) decresce ilimitadamente quando x se aproxima de 0 por valores maiores que 0. Neste caso nos referimos aos limites laterais e denotamos, respectivamente, por e Exemplo 2: Considere a função definida para todo x real. Intuitivamente, analisando as sucessões nas tabelas seguintes, podemos dizer que f(x) tende para quando x tende para ou para e denotamos por e
Exemplo 3: Observando o gráfico da função e a tabela a seguir podemos afirmar que o gráfico oscila numa vizinhança de zero sem tender para um limite.

Exemplo 4: Observando o gráfico da