Limites

LIMITES

A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objectivo nesta página, é abordar os tópicos ao

nível

do

segundo

grau,

voltado

essencialmente

para

os

exames

nacionais.

Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente O

estudo

ao

cálculo

teórico

e

de

limites

avançado,

de

funções,

vocês

verão

com na base

nas

propriedades

Universidade,

no

pertinentes.

devido

tempo.

Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: DERIVADAS. O matemático francês Augustin Louis CAUCHY
- 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac
NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

Definição:
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo d , tal que :
| x - x0 | < δ ⇒ |f(x) - L | < ε , para todo x ≠ x0 .
Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = L x->x0 Exercício:
Prove, usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8

x 3
Temos no caso: lim f(x) = x + 5 = 3 +5 = 8 x0 3

L = 8.
Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x – 3| < δ, se tenha |(x + 5) - 8| < ε. Ora, |(x + 5) – 8| < ε é equivalente a | x – 3 | < ε .
Portanto, a desigualdade |x – 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε . Concluímos então que 8 é o limite da