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Análise Matemática I - 2006/2007

Cap. I - FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1 . Noções topológicas no conjunto dos reais.
1. 1- Módulo, distância, vizinhança.
Def.1.1 Seja x∈ ℜ , designa-se módulo ou valor absoluto ao real positivo, x =

x se x ≥ 0
− x se x < 0

Prop.1.2* Sejam x e y, dois números reais, então:
(1)

x ≥0

(2)

x≤ x

(3)

−x = x

(4)

xy = x × y

(5)

se y ≠ 0,

(6)

x x = y y x+ y ≤ x + y

(7)

x− y ≥ x − y

(8)

se n∈ Ν ,

xn = x

n

Equações com módulos

x =0⇔ x=0 x = a ⇔ x = a ∨ x = −a x − b = a ⇔ x − b = a ∨ x − b = −a

*

A demonstração destas propriedades encontra-se no livro do Prof. Campos Ferreira

1ª aula teórica.

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Inequações com módulos
Supondo a ∈ ℜ + e b ∈ ℜ −

x < a ⇔ x < a ∧ x > −a ⇔ −a < x < a ⇔ x ∈ ]− a, a[ x ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ −a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈ [− a, a ] x > a ⇔ x > a ∨ x < −a ⇔ x ∈ ]− ∞,−a[ ∪ ]a,+∞[ x ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a ⇔ x ∈ ]− ∞,−a] ∪ [a,+∞[ x < 0 ⇔ x ∈∅ x ≤0⇔ x=0 x < b ⇔ x ∈∅
Exemplos:
a) x + 1 =

x + 1 se x + 1 ≥ 0
− ( x + 1) se x + 1 < 0

b) x + 2 = 3 ⇔ x + 2 = −3 ∨ x + 2 = 3 ⇔ x = −5 ∨ x = 1
c) x + 2 < 3 ⇔ −3 < x + 2 < 3 ⇔ −5 < x < 1
d) x + 2 > 3 ⇔ x + 2 < −3 ∨ x + 2 > 3 ⇔ x < −5 ∨ x > 1

Def.1.3
Distância entre dois números reais
Seja x, y∈ ℜ , define-se distância entre x e y, d ( x, y ) = x − y
Prop.1.4 * Sejam x, y, e z ∈ ℜ e d a distância definida anteriormente então, são válidas as três propriedades:
(1) d(x, y) ≥ 0

e

(2) d(x, y) = d(y, x)

d(x, y) = 0 sse x = y

(simetria da distância)

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular)

1ª aula teórica.

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Def.1.5 Vizinhança
Seja a um n.º real, (a∈ ℜ) , dado um n.º ε > o, designa-se ε, vizinhança de a, de raio ao conjunto
Vε (a) = {x ∈ ℜ : d ( x, a) < ε }= {x ∈ ℜ : x − a < ε }
Exemplo:
V1 (5) = {x ∈ ℜ : x − 5 < 1}= {x ∈ ℜ : 4 < x < 6}

1.2-