Limites

LIMITES

PROPRIEDADES USADAS
1 – Produtos notáveis:
(1) ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
(2) x2 – a2 = (x – a).(x + a)
(3) x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2)
(4) x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2) (7) ln e = 1. (8) lim log x = log lim x.

A expressão cujo limite se quer calcular pode ser transformada em:
(a4 – 1)/(a3 – 1) = (a2 + 1)(a2 – 1)/(a – 1)(a2 + a + 1) =
= (a2 + 1)(a + 1)(a – 1)/(a – 1)(a2 + a + 1) =
= (a2 + 1)(a + 1)/(a2 + a + 1).
Fazendo a = 1 na última expressão, obtém-se (1 + 1).(1 + 1)/(1 + 1 + 1) = 4/3.
Portanto o limite da função dada quando x tende para 1 é igual a 4/3.
Resposta: 4/3.

A expressão cujo limite se quer calcular pode ser transformada em:
(a3 – 1)/(a2 – 1) = (a – 1)(a2 + a + 1)/(a + 1)(a – 1) =
= (a2 + a + 1)/(a + 1)
Fazendo a = 1 na última expressão, obtém-se (1 + 1 + 1)/(1 + 1) = 3/2
Portanto o limite da função dada quando x tende para 0 é igual a 3/2.
Resposta: 3/2.

Observe que o numerador é do tipo (x – a). Se multiplicado por (x2 + ax + a2) resultaria em (x3 – a3) o que eliminaria a raiz cúbica do primeiro termo.
Usemos o expoente 1/3 no lugar da raiz cúbica para facilitar a digitação.
Multiplicando então, o numerador e o denominador por [(8 – 2x + x2)1/3]2 + 2.(8 – 2x + x2)1/3 + 4.
No numerador teremos: [(8 – 2x + x2)1/3]3 – 23 = 8 – 2x + x2 – 8 = x2 – 2x = x(x – 2).
Para o denominador resulta: x(1 – x)[(8 – 2x + x2)1/3]2 + 2. (8 – 2x + x2)1/3 + 4] =
= x(1 – x)[(8 – 2x + x2)2/3 + 2. (8 – 2x + x2)1/3 + 4].
Simplificando o “x” isolado, teremos:
(x – 2)/ (1 – x)[(8 – 2x + x2)2/3 + 2. (8 – 2x + x2)1/3 + 4].
Fazendo x = 0, resulta:
(0 – 2)/(1 – 0)[(8 – 0 – 0)2/3 + 2.(8 – 0 – 0)1/3 + 4] =
=-2/(1)(4 + 2.2 + 4) = -2/12 = -1/6.
Portanto o limite da função quando x  0 é -1/6.
Resposta: -1/6.

Usaremos expoentes fracionários para substituir os sinais de raízes.
Multipliquemos então o numerador e o denominador por:
[(3x2 – 7x + 1)1/3]2 - (3x2 – 7x + 1)1/3.1 + 12 e
[(2x2 -5x +