Limites

Etapa Nº 1
A HISTÓRIA DOS LIMITES

Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século 18 e início do século 19, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.
A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384--322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.
Já Arquimedes (287--212 a.C.) para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes encontrou várias séries infinitas - somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agora chamamos de limites.
Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o século 17, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--1704). Já René de