Limites

Teoremas, Propriedades e Definições de Limite


Formas Indeterminadas



Propriedades de Limites



Teoremas Fundamentais de Funções Trigonométricas



Propriedades de Funções envolvendo o Número de Euler

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Definições Precisas:
 Limite:

 Limites Laterais:

 Limites no Infinito:

 Limites Infinitos:

 Limites Infinitos no Infinito:



Equação da Reta Tangente:

m = derivada de f(x) no ponto x0.



Equação da Reta Normal:

m = derivada de f(x) no ponto x0.

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Teorema do Confronto

O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse esta esteja limitada entre duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)[editar]

Sejam f(x), g(x) e h(x) funções reais definidas num domínio D\subseteq\mathbb{R} e seja a um ponto deste domínio, tais que:
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L f(x)\leq g(x)\leq h(x)
Então existe o limite:
\lim_{x\to a}g(x)=L
Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)[editar]

Sejam a_n, b_n e c_n sucessões de números reais tais que:
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L
a_n\leq b_n\leq c_n
Então, b_n é uma sucessão convergente e ainda:
\lim_{n\to\infty}b_n=L
?
Exemplo (com x\in\mathbb{R})[editar]

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.
Considere os gráficos à direita das funções \frac{1}{x^2} (azul escuro), \frac{\sin x}{x^2} (cinzento tracejado) e -\frac{1}{x^2} (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função \frac{\sin x}{x^2} fica "enquadrada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{x^2}=0
E como:
-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin x}{x^2}\leq \frac{1}{x^2},
Conclui-se que:
\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x^2}=0
O resultado é análogo para as sucessões