Limites

LIMITES

NOÇÃO INTUITIVA DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Seja a função f:R→R, tal que fa=L, conforme o gráfico abaixo:

Fig.1- Quando x→a, y→L

Observa-se que quando x aproxima-se de a pela direita (por valores maiores que a), y se aproxima de L, e quando x se aproxima de a pela esquerda (por valores menores), y também se aproxima de L(fig.1). Percebe-se que quando x se aproxima de a, y se aproxima de L, isto é, quando x tende para a ( x→a), y tende para L(y→L), ou seja:

limx→afx=L

DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE

Seja uma função f definida em todo número de algum intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x se aproxima de a é L, que pode ser expresso por:

ATENÇÃO

Não é necessário que a função esteja definida em x=a, o que importa é o seu comportamento quando x se aproxima de a.

A definição anterior tem o significado geométrico seguinte:
Para qualquer x D(f) numa qualquer vizinhança (proximidade) de x = a, no caso de haver limite, vai existir sempre uma vizinhança de y=L que contém a imagem f(x).
Desta forma o conceito de limite vai ter relevância do ponto de vista microscópico, o qual em Análise Matemática se diz infinitesimal.

LIMITES LATERAIS

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela direita, escreve-se:

limx→a+fx=L1

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a(Fig.2a)

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela esquerda, escreve-se:

limx→a-fx=L2

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a (Fig.2a)

IMPORTANTE

O limite de f(x) para x→a existe se, e somente se, os limites laterais à direita e esquerda são iguais, isto é:

* Se limx→a+fx=limx→a-fx=L, então limx→afx=L * Se limx→a+fx≠limx→a-fx, então não existe limx→af(x) a L2
L
a
L1
Os limites laterais são diferentes
Os limites laterais são iguais

UNICIDADE DO LIMITE

Se o limite de uma função existe, então ele é único, isto é:
Se limx→afx=L1 e limx→afx=L2, então L1=L2