Limites no infinito

Aula 2
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de deriva» c~ ao
2.1 A derivada como inclina»c~ ao de uma reta tangente ao gr¶ a¯co da fun» c~ ao
Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atrav¶ es do conceito de velo cidade instant^anea. Veremos agora uma inter preta» c~ ao geom¶ etrica da derivada, em rela» c~ ao ao gr¶ a¯co da fun» c~ ao y = f (x).Esta¶e uma id¶ eia de Fermat. y y = f(x) r P f( ) x x0 + y t
P0
f( ) x0 0 a ß x x x
0 x0 + x
Figura 2.1. A derivada da fun» c~ e a inclina» c~ ao da reta t,tangenteaogr¶ a¯co ao f ,emx0,¶ de f em P0.
=0um acr¶ escimo (ou de-
Fixado um valor x0, sendo de¯nido f (x0), seja ¢x 6
11

Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac
» ~ ao 12 cr¶ ao escimo) dado a x0. Sendo x1 = x0 +¢x,temosquearaz~
¢y
¢x = f (x0 +¢x) ¡ f (x0)
¢x = f (x1) ¡ f (x0) x1 ¡ x0
¶
e o coe¯ciente angular da reta r, secante ao gr¶ a¯co da curva y = f (x), passando pelos pontos P0 =(x0;f(x0)) e P =(x1;f(x1)).
Observando os elementos geom¶ etricos da ¯gura 2.1, temos que quando ¢x tende a 0,opontoP tem como p osi» c~ a como ao limite o ponto P0, e a reta secan te P0P ter¶ posi» c~ ao limite a reta t,tangenteaogr¶ a¯co de f no ponto P0.
Na ¯gura, temos ainda, da geometria anal¶³tica elementar, tg ¯ = tangente do ^ angulo ¯
= coe¯ciente angular (ou inclina» c~ ao ) da reta secante P0P
= ¢y
¢x:
tg ® = tangente do ^ angulo ®
= coe¯ciente angular da reta t,tangenteaogr¶ a¯co de f ,nopontoP0:
Note aqui difer entes empregos (com diferentes signi¯cados) da palavra tangente:atan- gente (trigonom¶etrica) do ^ angulo ®,nosd¶ aainclina» c~ao,oudeclividade,oucoe¯ciente angular,daretat, que ¶ e (geometricamente) tangente ao gr¶ a¯co de f (ou que tangencia ogr¶ a¯co de f )nopontoP0.
Quando ¢x tende a 0, ¯ ten de a ®,eent~ ao ¢y
¢x =tg¯ tende a tg ®. ¢y
Da¶³, lim
¢x =tg®.
¢x!0
Assim, com este argumento geom¶ etrico e