Limites fundamentais

RESUMO LIMITES FUNDAMENTAIS

LIMITE EXPONENCIAL ⎛ 1⎞ Dada a função F(x)= ⎜ 1 + ⎟ x o seu limite quando x -> ⎜ x⎠ ⎝ Lim x-> ⎛ 1⎞ ⎜ 1+ ⎟ x е ⎜ x⎠ ⎝ é

Onde e é a base do sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é e = 2,7182818.

LIMITE TRIGONOMÉTRICO O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo Lim X->0 f ( x) 0 = g ( x) 0

envolvendo a função trigonométrica f(x) = lim X->0

sen( x) Pode-se provar que: x

sen( x) = 1 x

Estes limites são muito importante, pois com eles resolveremos outros problemas. 3

SUMÁRIO

1) Limite Exponencial .............................................................................05 2) Limite Trigonométrico ........................................................................07 3) Conclusão.............................................................................................10 4) Referências Bibliográficas..................................................................11

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LIMITES FUNDAMENTAIS

LIMITE EXPONENCIAL

Façamos uma tabela usando a função ⎛ 1⎞ F(x)= ⎜ 1 + ⎟ x ⎜ x⎠ ⎝

x>0 101 102 103 104

F(x) 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815

X+ ∞ ⎜ 1 + ⎟ x = е ⎜ x⎠ ⎝ Á medida que x tende ao infinito, a imagem de f tende ao número 2,7182818.... também conhecido por número de Euler, ou seja x , então f(x) 2,7182818..... O número 2,7182818.... é um número irracional, que é a base dos logaritmos neperianos. Sua representação é a letra e, ou seja, e = 2, 7182818... Exemplo: Observe o cálculo do limite abaixo:

Lim

lim

lim

lim ⎛ 1⎞ ⎜ 1+ ⎟ x = ⎜ x⎠ ⎝

⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ x->∞ ⎜ 1 + ⎟ 2x= x->∞ ⎜ 1 + ⎟ x . ⎜ ⎜ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ = е . е = е2

⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎜ 1 + ⎟ x = x->∞ ⎜ 1 + ⎟ x . x->∞ ⎜ ⎜ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝

Como consequência deste limite temos:

Lim
1 x-> 0 (1+ x) x = е

Exemplo: Lim (1 + x)5/x = lim [(1+x)1/x]5 = е5 x->0

x->0
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LIMITE TRIGONOMÉTRICO Antes de provar faremos uma tabela, usando o fato de que f(x) = sen( x) é uma função