Limites: conceitos básicos

Calculo Diferencial e Integral I

Engenharia - 1º ano

Limites:
1.

Introdução:

Todo o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral depende do conceito de Limite.
Veremos a seguir, de forma intuitiva, dois importantes conceitos que são o embasamento do
Cálculo Diferencial e Integral, o conceito da reta tangente a uma curva e o conceito da área de uma região situada entre um eixo e uma curva.
2.

Conceitos intuitivos:

2.1. Reta tangente a uma curva:
Dada a curva y = f(x) e sobre a mesma dois pontos P e Q. Uma reta que passa por esses pontos, é chamada de reta secante à curva por P e Q. Intuitivamente, movendo-se o ponto Q sobre a curva na direção do ponto fixo P, a reta secante tende , na sua posição limite, à reta tangente à curva y = f(x), em P. y tangente secante Q
P
x

Portanto, a noção de reta tangente leva ao conceito de limite. Tal é a importância de tal conceito que, brevemente, estudaremos o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x) em P, com o nome de derivada.
2.2. Áreas entre curvas e eixos:
O cálculo de áreas de regiões planas cujos contornos são retas, pode ser feito pela soma das áreas de retângulos e triângulos resultantes de suas sub-divisões.

y

y
A = A1 + A2 + A3 + A4

A1
A

A3

A4

A2 x Prof. MSc: Celso Antonio Abrantes

x

Limites e Continuidade / 101

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Engenharia - 1º ano

Porém para regiões de contorno curvilíneo, não é possível o emprego de tal solução.

y

A

x a b

Uma abordagem possível para a solução de tal problema, é a soma das áreas de retângulos inscritos sob a curva, de iguais larguras ( ∆x ). y n

A = ∑Ai i =1

x a ∆x

b

A área assim calculada, por se perder os valores das áreas entre os retângulos e a curva, é aproximada. Intuitivamente constata-se que, reduzindo as larguras ∆x dos retângulos, reduz-se as áreas dos vazios entre estes e a curva, aumentando a precisão no cálculo da