LIMITES 1 15

CÁLCULO II

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Curso de Engenharia

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Prof. José Norberto Reinprecht

LIMITES
1. INTRODUÇÃO
O conceito de limite de uma função é a principal ferramenta que diferencia o cálculo da álgebra e da trigonometria.
O próprio Newton não tinha uma idéia muito clara do conceito de limite; muitos anos mais tarde, que Cauchy, elaborou o conceito de limite em bases mais sólidas, em termos de épsilons e deltas.
Portanto, o conceito de limite já era utilizado por Newton, muito antes de Cauchy, ter dado uma definição mais rigorosa e precisa que atualmente conhecemos.
Neste tópico, vamos tratar deste assunto de um modo mais intuitivo, da mesma forma como este conceito se desenvolveu historicamente.
Intuitivamente, a ideia de limite é verificar próximo de que valor L está a função ƒ(x) quando os valores de x estão próximos de um valor a.
Esta noção intuitiva de “próximo de” não é um conceito matemático claro e preciso.
Assim, como exemplos: “Mogi das Cruzes, que está a uma distância de 50 quilômetros de
São Paulo, está próximo de São Paulo?” , “a Lua, que dista aproximadamente, 380.000 quilômetros da Terra, está próximo da Terra?”. As respostas dessas perguntas dependem do que se entende por “próximo de”.
No cálculo e suas aplicações, em geral, estamos interessados nos valores de uma função ƒ(x) quando os valores de x estiverem próximos de um número a, mas, não necessariamente iguais a a.
Na vida real aparecem um grande número de exemplos em que trabalhamos com situações-limites. “ Determinar a eficiência de um novo motor em condições ideais ”; ou, “ A temperatura na qual cessam a agitação de todas as moléculas ”, o chamado zero-absoluto. Estes são exemplos de situações na qual podemos se aproximar de um determinado valor, mas que jamais o atingiremos.

2. CONCEITO DE LIMITE

x2  4 e x2 suponhamos que estejamos interessado no seu comportamento quando x se aproxima de
2 , embora a função não possa assumir esse valor (pois anula o denominador).
Podemos obter uma ideia desse