Limite Fundamental

´
MATEMATICA APLICADA A NEGOCIOS

4, 1–?? (2010)

C´ alculo C´ alculo Diferencial e Integral I

LIMITES FUNDAMENTAL
Jair Silv´erio dos Santos*
TEOREMA DO SANDUICHE
Teorema 0.1.
Dadas f, g, h : A ⊂ R → fun¸c˜ oes e x0 ponto de acumula¸c˜ ao de A.
(i) Suponha existe > 0 tal que para cada x ∈ (x0 − ; x0 + ) tem-se f (x) ≤ h(x) ≤ g(x). umero real.
(ii) Suponha que lim f (x) = L e lim g(x) = L, onde L ´e um n´ x→x0 x→x0

Ent˜ ao lim h(x) = L. x→x0 1 x Exemplo 0.1. Seja h : A ⊂ R → R fun¸c˜ ao dada por h(x) = x sen ( ), e x0 = 0. Calcule lim h(x). x→0 1 a tome f (x) = −x e g(x) = x e teremos f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo
Note que, −x ≤ x sen ( ) ≤ x, ent˜ x 1 x ∈ R. Como limx→0 −x = 0 = limx→0 x, o Teorema 0.1 nos garante que limx→0 sen ( ) = 0. x Primeiro Limite Fundamental Provemos que

lim

x→0

sen x
= 1. x Consideremos o arco de circunferˆencia de raio um AOC na Figura abaixo. Considere tamb´em o setor circular AOC e os triˆ angulos BOC e AOG cujas as ´areas s˜ao representasdas por ∇s , ∇B e ∇G respectivamente.

✻
G
C

✲
O

B

A

´ f´
E
acil ver que ∇B ≤ ∇s ≤ ∇G . Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observar que a medida dos sen x segmentos de reta OA, OB, BC, e AG s˜ ao um, cos x, sen x e respectivamente. Com estes valores em cos x mentevemos que estas ´ areas satisfazem
1
´
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MATEMATICA
& NEGOCIOS
DFM-FFCLRP-USP.

2

SANTOS, J. S.

1 x (sen x cos x) ≤
2
2
Invertendo todas as fra¸c˜ oes teremos

≤

1 sen x
2 cos x

ou seja

sen x cos x ≤ x ≤

sen x
.
cos x

1
1
cos x
≥
≥
.
sen x cos x x sen x
Multiplicando todos os membros das inequa¸c˜oes acima por sen x (veja que sen x > 0) teremos
1
sen x
≥
≥ cos x. cos x x 1
, g(x) = cos x e
Agora estamos em condi¸c˜ oes de nos valer do Teorema 0.1 com as fun¸c˜oes f (x) = cos x sen x
1
h(x) =
. Como lim+ f (x) = lim+
= 1 e lim+ g(x) = lim+ cos x = 1, o Teorema 0.1 nos asegura
x