Liderança

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas
Exercício 1. Utilizando a idéia do exemplo anterior, encontre a reta tangente à curva y = x 3 nos pontos onde x = 0 e x = −1 . Solução:

Vamos determinar a reta tangente à curva y = x 3 nos pontos de abscissas x = 0 e x = −1 . (i) x = 0 : Considere a reta secante passando pelos pontos (0, 0) e ( h , h 3 ) com h “suficientemente pequeno”. A equação dessa reta secante é dada por y − 0 =

h3 − 0 ( x − 0) . Quando h se aproxima de 0, o ponto ( h , h 3 ) se h −0 aproxima de (0, 0) e a reta secante de equação y = h 2 x tende à reta de equação y = 0 . Dessa forma, temos que a reta de equação y = 0 é a reta tangente à curva y = x 3 no ponto (0, 0) .

(ii) x = −1 : Considere a reta secante passando por P ( − 1, − 1) e Q ( −1 + h ,( −1 + h )3 ) = Q ( −1 + h , −1 + 3h − 3h 2 + h 3 ) , com h “suficientemente pequeno”. A equação da reta secante por P e Q é dada por y − ( −1) =

( −1 + 3h − 3h 2 + h 3 ) − ( −1) ( x − ( −1)) = (3 − 3h + h 2 )( x + 1) .
−1 + h − ( −1)

Quando h tende a 0, o ponto Q se aproxima de P, e a reta secante de equação y + 1 = (3 − 3h + h 2 )( x + 1) se aproxima da reta de equação y + 1 = 3( x + 1) . Assim, a reta de equação y = 3x + 2 é a reta tangente à curva y = x 3 no ponto ( −1, − 1) .
Exercício 2. Encontre a equação da reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto P, sendo a função f dada por:

a) f ( x ) =

1 1  ; P =  ,2 x 2 

b) f ( x ) = 2 x 2 + x + 2 ; P = ( −1, 3)

Solução: a) Considere a reta secante passando por

  1 1  1 + 2h 2 1   = Q( P  , 2  e Q  + h, , ), 2 1 + 2h 1  2  2 +h    2   com h “suficientemente pequeno”. A equação da reta secante por P e Q é dada por  2   −4 h   −2   −4 1  1 + 2h  1 1 1 + 2h  y−2=  (x − ) = (x − ) = (x − ) . 1 + 2h 1 2 h 2 1 + 2h 2 − 2 2 1 −4 ( x − ) se aproxima Quando h tende a 0, o ponto Q se aproxima de P, e a reta secante de equação y − 2 = 1 + 2h 2 1 1 da reta de equação y − 2 = −4( x − ) . Assim, a