LER 4 Cal Num

TURMA 2012: Cálculo Numérico – MAT52
Prof. Juan Carlos Zavaleta Aguilar

LISTA 4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício 1
Seja uma função f ( x ) tabelada como segue:

x f ( x)

-1
0
1
2
3
4
5
1 0.51 0.42 0.82 1.91 0.99 1.88

5

Calcule I = ∫ f ( x ) dx usando a Regra dos Trapézios e a Regra 1/3 de Simpson.
−1

SOLUÇÃO

Observa-se que existem 6 subintervalos. Calculando o comprimento de cada subintervalo, temos h=

5 − (−1) 6
= = 1 ⇒ h = 1.
N
6

Assim, temos:
REGRA DOS TRAPÉZIOS
5

I = ∫ f ( x ) dx ≅
−1

h
 f ( x0 ) + 2 ( f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + f ( x4 ) + f ( x5 ) ) + f ( x6 )  =
2

6.0900 ⇒
5

I = ∫ f ( x ) dx ≅ 6.0900.
−1

1

REGRA 1/3 DE SIMPSON
5

I = ∫ f ( x ) dx ≅
−1

h
 f ( x0 ) + 4 ( f ( x1 ) + f ( x3 ) + f ( x5 ) ) + 2 ( f ( x2 ) + f ( x4 ) ) + f ( x6 )  =
3

= 5.6067 ⇒
5

I = ∫ f ( x ) dx ≅ 5.6067.
−1

Exercício 2
4

1

2

ln ( x )

Resolver a integral definida I = ∫

dx , usando a Regra 1/3 de Simpson com 8

subintervalos.
SOLUÇÃO

A primeira observação sobre o cálculo da integral definida dada é que existe uma primitiva, mas pode-se demostrar que não é uma função elementar. Isso significa que não existe uma forma explícita simples de tal forma que o 10 Teorema Fundamental de
Cálculo possa ser aplicado, e com isso, termos o valor exato da integral definida.
Aplicando a Regra 1/3 de Simpson, temos N = 8 , então h = os valores xi = x0 + ih, i = 1: 8 e f ( xi ) =

xi f ( xi )

2.0

2.25

2.50

b−a 4−2 2
=
= = 0.25 , e
N
8
8

1 estão registrados na seguinte tabela: ln ( xi )

2.75

3.00

3.25

3.50

3.75

4.0

1.4427 1.2332 1.0914 0.9885 0.9102 0.8484 0.7982 0.7566 0.7213

Assim,
4

1

2

ln ( x )

I =∫

dx ≅

h  f ( x0 ) + 4 ( f ( x1 ) + f ( x3 ) + f ( x5 ) + f ( x7 ) ) + 

=
3  2 ( f ( x2 ) + f ( x4 ) + f ( x6 ) ) + f ( x8 )



= 1.9225 ⇒
4

1

2

ln ( x )

I =∫

dx ≅ 1.9225.

2

Exercício 3
Dada a equação diferencial com valor inicial y′ = y − x , y ( 0 ) = 2 :
3.1 Resolver a equação analiticamente.
3.2 Use o Método de Euler, com h