Laplace

Transformada de Laplace II-20

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Exemplos de uso em alguns sistemas físicos:

Alguns elementos mecânicos | Sistema massa, mola e amortecedor |

A Figura 01 exibe esquema de alguns elementos mecânicos sujeitos à ação de uma força variável com o tempo f(t). Para a massa conforme (a) da figura, usa-se a segunda lei de Newton,

[pic]#A.1#

E a transformada de Laplace é:

F(s) = m s2 X(s)#A.2#

[pic]
Fig 01

Para uma mola de constante k, como em (b) da figura,

f(t) = k x(t)#B.1#

Portanto,

F(s) = k X(s)#B.2#

No caso de um amortecedor como em (c) da figura,

[pic]#C.1#

Portanto,

F(s) = c s X(s)#C.2#

Onde c é o coeficiente de amortecimento. Mais informações sobre sistemas de massa, mola e amortecedor podem ser vistas nas páginas sobre vibrações mecânicas deste site.

Seja agora o caso de um sistema massa, mola e amortecedor sujeito à ação de uma força externa f(t) conforme Figura 02. Então, essa força deve ser a resultante das forças em cada elemento:

[pic]#D.1#

Usando as igualdades anteriores para as transformadas de Laplace de cada elemento,

(m s2 + c s + k) X(s) = F(s)#D.2#

[pic]#D.3#

Genericamente, a função definida pela relação entre as transformadas de Laplace da saída e e da entrada de um sistema é denominada função de transferência G(s). Portanto, para o sistema da Figura 02, a função de transferência da saída deslocamento X(s) e da entrada força resultante é:

[pic]#D.4#

De modo que:

X(s) = G(s) F(s)#D.5#

[pic]
Fig 02

Seja o caso particular da aplicação de uma força constante P a partir de t = 0, isto é:

[pic]#E.1#

Essa é a função degrau unitário multiplicada por uma constante P. Assim,

F(s) = P/s#E.2#

Substituindo em #D.3#,

[pic]#E.3#

Seja agora o seguinte exemplo numérico:

P = 100 N m = 100 kg c = 300 N s/m k = 200 N/m

Substituindo na igualdade #E.3#,

[pic]#F.1#

Considerando a igualdade