Laplace

28/2/2009

FACULDADE UNI-ANHANGUERA
UNIPROFESSOR: FERNANDO ARBEX
DISCIPLINA: CONTROLE AVANÇADO
DE SISTEMAS
TURMA: ENGENHARIA MECÂNICA, 7°PERÍODO

AULAS 03 a 08

TRANSFORMADA DE LAPLACE

INTRODUÇÃO
A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares.
Assim, podemos converter equações diferenciais em equações algébricas em termos de uma variável complexa s.
Portanto este método facilita na resoluções de alguns sistemas mais complexos tornando-os mais simples.

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DEFINIÇÃO
Vamos definir: ƒ(t) = Uma função de tempo em que ƒ(t)=0 para t0
Onde c, a abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(S).

FUNÇÃO EXPONENCIAL
Considere a função exponencial:

f (t ) = 0 , t < 0 f (t ) = Ae −αt , t ≥ 0
Onde A e α são constantes. A transformada de Laplace dessa função exponencial pode ser obtida da seguinte maneira: ∞

∞

0

0

L[ Ae −αt ] = ∫ Ae −αt e − st dt =A∫ e −(α + s )t dt =

A s +α

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FUNÇÃO DEGRAU
Considere a função degrau: f(t) f (t ) = 0 , t < 0

A(t )

f (t ) = A , t > 0 t Onde A é uma constante. Note que esse é um caso especial da função exponencial,
Ae −αt onde α = 0. Sua transformada é:
∞

L[ A] = ∫ Ae − st dt =
0

A s FUNÇÃO RAMPA
Considere a função rampa: f (t ) = 0 , t < 0

f(t)

f (t ) = At , t ≥ 0 t Onde A é uma constante. A transformada de Laplace dessa função rampa é obtida como: L[ At ] = ∫

∞

0

e − st
Ate dt = At
−s

∞

− st

−∫

∞

0

0

Ae − st
A∞
A dt = ∫ e − st dt = 2
0
−s s s

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FUNÇÃO SENOIDAL
Considere a função senoidal: f (t ) = 0 , t < 0 f (t ) = Asenωt , t ≥ 0

Onde A e ω são constantes, é obtida como se segue:
1 jωt
(e − e − jωt )
2j
A ∞ jωt
− jωt
− st
L[ sen(ωt )] =
∫0 (e − e )e dt
2j
sen(ωt )