Juros Compostos E O N Mero De Euler

Juros Compostos e o Número de
Euler
Produção: equipe do projeto PROIN/CAPES
98.
Coordenadora: Vera L.X. Figueiredo
Professoras: Margarida P. Mello e Sandra A.
Santos
Alunos: Carlos Eduardo Tibúrcio e Christian de
Oliveira Moreira
Módulo por Carlos Eduardo Tibúrcio & Margarida P.
Mello
Neste módulo, vamos empregar o problema do cálculo do capital acumulado num fundo de investimentos como motivação para encontrarmos o valor do número de Euler, uma das constantes com as propriedades mais interessantes da matemática.
Um fundo de investimentos funciona da seguinte forma: o cliente investe um montante de capital, a uma taxa de juros fixada, e escolhe dentre uma série de planos de capitalização. A capitalização é a freqüência com que as taxas de juros atuarão sobre o capital investido, proporcionando os rendimentos.
Por exemplo, para as taxas de juros fixadas como anuais, e com capitalização mensal, taxas de 1/12 da anual agirão 12 vezes, incrementando o fundo.
Podemos aplicar os conceitos de progressão geométrica (P.G.) a esse problema. Veja:

Seja K o capital aplicado no início do ano e r a taxa anual de juros. Com capitalização anual o acréscimo de capital ocorre de acordo com o esquema abaixo

se a freqüência de capitalização fosse semestral o esquema seria modificado para

e com capitalização quadrimestral ganharia-se ainda mais dinheiro!!

Observe que, fixado o plano de capitalização, a seqüência de valores de capital acumulado forma uma P.G.
O capital acumulado ao final de doze meses para cada plano de capitalização é dado pela tabela a seguir: Podemos perceber que a taxa efetiva de rendimento será capitalização. , onde n é a freqüência de

A coluna direita da tabela acima contém exemplares de uma outra seqüência cujo n-ésimo termo é K

.

A expressão representa a taxa de rendimento líquido do capital, ou taxa efetiva.
Refazemos agora a tabela anterior acrescentando uma coluna com a relação de taxas efetivas

Fixando o valor de K em 100 e o de r em 0.12 na