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Exercícios de Determinantes

1. (Ita) Considere A e B matrizes reais 2 × 2, arbitrárias. Das afirmações a seguir assinale a verdadeira.

a) Se A é não nula então A possui inversa.
b) (AB)t = AtBt
c) det (AB) = det (BA)
d) det A2 = 2 det A
e) (A + B)(A - B) = A2 - B2 2. (Uff ) Considere a matriz.

Os valores de k que tornam nulo o determinante da matriz M - kI, sendo I a matriz identidade, são:

a) 0 e 4
b) 4 e 5
c) -3 e 5
d) -3 e 4
e) 0 e 5 3. (Ufrrj ) Dadas as matrizes

O valor de x tal que det A = det B é
a) 0.
b) 5.
c) 1.
d) -1.
e) 2.

4. (Ufrj ) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz

Justifique. 5. (Ita) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n ≥ 2:

I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a11a22...ann.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por +1 e a segunda por -1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A.

Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)

a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.

6. (Ita 2006) a) 0
b) 4
c) 8
d) 12
e) 16 7. (Ita) Sejam A e C matrizes n × n inversíveis tais que det (I + C-1 A) = 1/3 e det A = 5. Sabendo-se que B = 3(A-1 + C-1)t, então o determinante de B é igual a

a) 3n
b) 2 . (3n/52)
c) 1/5
d) 3n - 1/5
e) 5 . 3n - 1 8. (Udesc ) Dada a matriz A (figura 1).
Seja a matriz B tal que A-1BA=D, onde a matriz D (figura 2), então o determinante de B é igual a: a) 3
b) -5
c) 2
d) 5
e) -3 9. (Mackenzie ) Considerando 0 < x 0 e cotg(x) > 0(definição de logaritmo)
Calculando o determinante