introdução à álgebra

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Fundamentos de Análise
(Tutorial)
Lista 4 – Seqüências monótonas, Critérios de convergência e limites infinitos.

1) Quais seqüências abaixo são não-decrescentes? Quais são não-crescentes? E quais são limitadas? a) Observe que , logo temos que a seqüência é não-crescente e limitada pois . b) Observe que , logo temos que a seqüência não é monótona (é alternada) e limitada, pois . c) Observe que , logo temos que a seqüência é não-decrescente e ilimitada. d) Observe que , logo temos que a seqüência não é monótona (alternada) e limitada pois .

e) Observe que , logo temos que a seqüência não é monótona e ilimitada. f) Observe que , logo temos que a seqüência é não-crescente e limitada, pois .

2) Seja uma seqüência não decrescente de números positivos. Seja . Prove que é uma seqüência não-decrescente.
Dem: Observe que . Então temos que
, considerando temos

A última desigualdade é verdadeira, pois é não-decrescente, ou seja, para todo n.
Logo e, portanto é não-decrescente.

3) Seja e para .
a) Encontre e .

b) Mostre que existe .
Provemos que é não-crescente (ou decrescente) (dividindo por ) segue que .
Como e , a última desigualdade é verdadeira. Portanto é monótona. Como também é limitada, segue que é convergente. (Pois toda seqüência monótona e limitada é convergente).

c) Prove que
Por (b) segue que existe limite de , então seja , e . Assim como temos então
Então temos ou , como segue que .

4) Exercício 2.31 (1) da página 44 do texto base. onde então basta fazer as contas na calculadora.
Por exemplo:

5) Exercício 2.31 (2) da página 44 do texto base.
Uma aplicação interessante do teorema 2.28 é um método que os babilônios usavam para o cálculo da raiz quadrada de um número real positivo a , com data de 18