introdução a teoria dos numeros

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Os n¶meros inteiros u 1.1

Propriedades b¶sicas a Nesta se»~o exploraremos propriedades b¶sicas dos n¶meros inteiros, ponto de partida ca a u para um estudo sistem¶tico de suas propriedades. a Assumiremos axiomaticamente, sem questionamentos, que existe um conjunto Z, cujos elementos s~o chamados de n¶meros inteiros, tendo Z dois elementos destacados, a u
0 (zero) e 1 (um), e tamb¶m duas opera»~es, a adi»~o (+) e a multiplica»~o (¢). e co ca ca
Sendo a e b dois inteiros quaisquer, denotaremos por a + b a soma de a e b, e por a ¢ b (ou por ab, quando isto n~o nos causar confus~o) o produto de a por b. a a
Assumiremos que os inteiros satisfazem os seguintes axiomas:
² Fechamento: a + b e a ¢ b s~o inteiros sempre que a e b s~o inteiros. a a
² Leis comutativas: a + b = b + a e a ¢ b = b ¢ a, para quaisquer inteiros a e b.
² Leis associativas: (a + b) + c = a + (b + c) e (a ¢ b) ¢ c = a ¢ (b ¢ c), para quaisquer inteiros a, b e c.
² Leis de exist^ncia de elementos neutros: a + 0 = 0 + a = a e a ¢ 1 = 1 ¢ a = a, e para todo inteiro a.
Em outras palavras, 0 e 1 s~o elementos neutros das opera»~es + e ¢, respectivaa co mente.
² Lei distributiva (da multiplica»~o em rela»~o µ adi»~o): (a + b) ¢ c = a ¢ c + b ¢ c ca ca a ca ² Lei da exist^ncia de inversos aditivos: Para cada inteiro a, existe um inteiro x tal e que a + x = x + a = 0. Este inteiro x ¶ chamado inverso aditivo ou oposto, ou e ainda sim¶trico de a e ¶ denotado por ¡a. Sendo a e b dois inteiros, de¯ne-se e e a ¡ b = a + (¡b).
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Os numeros inteiros

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² Lei do cancelamento da multiplica»~o: Se a, b e c s~o inteiros, com c 60, e ca a
=
a ¢ c = b ¢ c ent~o a = b. a A partir das propriedades acima, tomadas aqui como axiomas (ou postulados), e das propriedades habituais da igualdade, podemos deduzir outras propriedades dos n¶meros inteiros, as quais, por serem deduzidas, recebem o nome de teoremas. Como u exemplo de uma dessas propriedades,