INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

7 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

7.1 Introdução

A partir do cálculo diferencial e integral sabe-se que, dada uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b], tem-se:

(7.1)

onde . Graficamente a interpretação da integral é a área sob o gráfico da função.

f(x)

a b x

Em muitas situações pode ser difícil ou mesmo impossível a obtenção de F(x). Também podem existir aplicações em que a função f(x) é conhecida apenas para valores tabelados em um intervalo [a,b]. Nestas situações fica inviabilizada a solução da integral. A saída é a utilização de métodos numéricos. A idéia básica da integração numérica é substituir a função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a,b] e integrar o polinômio, ou seja:

7.2 Fórmulas de Newton-Cotes

A função f(x) é aproximada por um polinômio interpolador gerado a partir da forma de Gregory-Newton para pontos igualmente espaçados no intervalo [a,b]. As fórmulas de Newton-Cotes variam de acordo com o grau do polinômio interpolador, como segue.

7.2.1 Regra dos Trapézios

Nesta regra, a função a ser integrada será aproximada por um polinômio interpolador é de ordem 1. Portanto, necessita-se de dois pontos para a interpolação, ou seja . Tem-se a expressão:

A partir da fórmula de Gregory-Newton, tem-se:

Resultando em:

Para facilitar esta integração, faz-se uma mudança de variáveis: (7.2) (7.3) (7.4)
Resultando em:

Como e derivando em relação a x, tem:
.
Mudando os limites de integração: