Integral

04/06/2012

Antiderivadas e Integração Indefinida
Definição 1
Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I se F’(x) = f(x) para todo x em I.

Exemplos: g(x) = x2 é uma antiderivada de f(x)
Se Dx(x2) = 2x ⇒ g’(x) = f(x).

y = x2 + c é uma antiderivada de f
Se Dx(x2 + c) = 2x ⇒ y’ = f.

Definição 2
A notação

∫ f ( x) dx = F ( x) + C

Onde F’(x) = f(x) e C é uma contante arbitrária, denota a família de todas as antiderivadas de f(x) em um intervalo I.

1

04/06/2012

Antiderivadas e Integração Indefinida
Regra da potência para integração indefinida

∫x

r

dx =

x r +1
+ C (r ≠ −1) r +1

Exemplos:

∫1dx =
8

dx =

1

dx =

∫x
∫x

3

∫

x 2 dx =

3

Antiderivadas e Integração Indefinida
Integrais indefinidas de funções trigonométricas

Exemplo: tg x

∫ sec x dx =

2

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Antiderivadas e Integração Indefinida
Teorema 1
∫ cf ( x) dx = c ∫ f ( x) dx para qualquer constante c.

∫[ f (x) + g(x)]dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx
∫[ f (x) − g(x)]dx = ∫ f (x) dx− ∫ g(x) dx
Exemplos: Calcule as integrais indefinidas:

∫ 5x

3

+ 2 cos x dx =

∫ (8t

3

−6 t +

∫

1
) dx = t3 ( x 2 − 1) 2 dx = x2 Antiderivadas e Integração Indefinida
Equação Diferencial

∫ f ' ( x) dx = f ( x) + C

para qualquer constante C.

Exemplos:
Resolva a equações diferenciais sujeitas as condições de contorno dada.

a) f’(x) = 6x2 + x – 5, onde f(0) = 2

b) f’’(x) = 5 cos x + 2 sen x, onde f(0) = 3 e f’(0) = 4

3

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A Integral Definida
Seja R a região sob o gráfico de f de a até b

A área do polígono retangular inscrito é a soma das áreas
Área de cada elemento:
A = f(uk) ∆x

AT = lim

∆x → 0

n

∑

k =1

f (u k ) ∆ x

Soma de Riemann

A Integral Definida
Definição:
Seja f definida em um intervalo fechado [a, b].
A integral definida de f, de a a b é:

∫

b

a

n

f ( x) dx = lim ∑ f (uk )∆xk
∆x → 0

k =1

Ou seja
Se f é