Integrais por partes

Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais, aplicando o método de integração por partes: ( ⌠ ⌠ O método tem a seguinte fórmula: u dv = u v − v du ⌡ ⌡ )

1)

⌠ I = x2 sen( x ) dx ; ⌡ Solução

considerando:

u = x2 => du = 2x dx dv = sen(x)dx => v = −cos( x ) substituindo em I , temos:

⌠ ⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du = −x2 cos( x ) − −cos( x ) 2 x dx = ⌡ ⌡ ⌡ ⌠ −x2 cos( x ) + 2 x cos( x ) dx ⌡

⌠ fazendo J = 2 x cos( x ) dx ⌡ considerando w = x => dw = dx dz = cos(x) dx => z = sen(x) substituindo em J , temos: ⌠ ⌠ ⌠ J = 2 w dz = 2 w z − 2 z dw = 2 x sen( x ) − 2 sen( x ) dx = 2 x sen(x) + 2 ⌡ ⌡ ⌡

cos(x) + K

logo, temos:

I = −x2 cos( x ) + J

=

−x2 cos( x ) + 2 x sen(x) + 2 cos(x) + K

------------------------------------------Page 1

2)

⌠ I = ln( tg( x ) ) sec( x )2 dx ⌡ Solução sec( x )2

considerando u = ln(tg(x)) dv = sec( x )2dx

=>

tg( x ) => v = tg(x)

du =

dx

substituindo em I , temos: ⌠  tg( x ) sec( x )2 ⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du = ln( tg( x ) ) tg( x ) −  dx =  ⌡ ⌡ tg( x )  ⌡ ⌠ ln( tg( x ) ) tg( x ) − sec( x )2 dx = ⌡ = ln( tg( x ) ) tg( x ) − tg( x ) + K = tg( x ) ( ln( tg( x ) ) − 1 ) + K ------------------------------------------

3)

⌠  x ex I =  dx ;   ( 1 + x )2 ⌡ Solução considerando u = x ex du = (ex + x ex) dx = ex ( 1 + x ) dx 1 1 dv = dx => v = − 1+x ( 1 + x )2 =>

sustituindo em I , temos:

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⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du = ⌡ ⌡ = − x ex 1+x + ex + K =

⌠ x  e (1 + x) x ex ⌠ x − − − dx = − + e dx = 1+x  1+x 1+x ⌡  ⌡  x  1 ex x  + K = ex e 1 − + K = + K  1+x 1+x 1+x  x ex

-----------------------------------------

4)

⌠ I = x2 ln( x + 1 ) dx ; ⌡ Solução 1 x+1

considerando u = ln( x + 1) dv = x dx
2

=> du = x3

dx

3 substituindo em I , temos: x3 ⌠  x3 ln( x + 1 ) −  3 ( x + 1 ) dx = 3  ⌡ x3 3 1 3

=> v =

⌠ ⌠ I = u dv = u v − v du ⌡ ⌡ ⌠ 3  x   x + 1 dx =  ⌡ x3

=

ln( x + 1 ) −

⌠ 1 2 1 x3 1 = ln(