Integrais 1

UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL – UNISC
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: CÁLCULO II
PROFESSORA: DEISE MILBRADT
CAPÍTULO 1 – A Integral
1.1

– Primitiva – A integração como processo inverso ao da derivação.

Dizemos que um função F(x) é primitiva de uma outra função f(x) se esta é a dF derivada daquela: f(x) = F’(x) ou f(x) =
.
dx
Exemplos:
F(x) = x 3 é a primitiva de f ( x )  3 x 2 .
F(x) = sen(x) é a primitiva de f(x) = cos(x).
Mas, vejam que F(x) = x 3 não é a única primitiva de 3x 2 , pois: d ( x 3  5) x 3 + 5 também é 
= 3x 2 = f(x) dx d (x3  7 ) x 3 - 7 também é 
= 3x 2 = f(x) dx 4 d (x3 
)
4
9 = 3x 2 = f(x) x3 + também é 
9
dx
3
d x 
C
x 3 + C também é 
= 3x 2 = f(x) dx 



1.2 – Integral Indefinida
De um modo geral, se F(x) = x 3 é uma primitiva (antiderivada) de f(x), vê-se que existem infinitas primitivas de f(x), diferindo por uma constante. Esta primitiva ampla (geral), expressa por F(x) + C, onde C = constante, será denominada integral indefinida de f(x) pois a ela corresponde uma infinidade de primitivas que diferem entre si por uma constante.
Assim, a primitiva geral de f(x) = 3x 2 é F(x) + C = x 3 + C ou a integral indefinida de f(x) = 3x 2 é x 3 + C ou

 f x dx  Fx   C

(1)

no caso,  3x 2 dx  x 3  C .
Em (1), a função f(x) é chamada de integrando e a constante C é a constante de integração. Lê-se: “a integral de f(x) em relação à x é igual a F(x) + C”.
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O símbolo dx nas operações serve para identificar a variável de integração.
O adjetivo “indefinida” ressalta que o processo de integração não produz uma função definida, mas ao invés disso, um conjunto de infinitas funções.
1.3 – Propriedades das integrais indefinidas
a) A integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela integral da função:
 c.f x dx  c  f x dx
b) A derivada da integral de uma função é igual a essa função. d f  x dx  f  x  dx 





c) A integral da diferencial de uma função é igual a essa