Integra O Num Rica1

Integração Numérica

Quando não conseguirmos calcular a integral por métodos analíticos, mecânicos ou gráficos, então podemos recorrer ao método algorítmico. Em algumas situações, só podemos usar o método numérico. Por exemplo, se não possuirmos a expressão analítica de f, não podemos, em hipótese nenhuma, usar outro método que não o numérico. A integração numérica pode trazer ótimos resultados quando outros métodos falham. A solução numérica de uma integral simples é comumente chamada de quadratura.
Lembrando que
� 𝑛
∫ �(𝑥)�𝑥 = lim ∑ �(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖
� 𝑛→∞
𝑖=1
Que é a integral de Riemann, onde 𝑥𝑖 [xi-1, xi] partes de [a, b], com x0 = a, xn = b e
Δxi = |xi – xi-1 |, para n suficientemente grande e Δxi suficientemente pequeno,

𝑛
∑ �(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖
𝑖=1
representa uma boa aproximação para

�
∫ �(𝑥)�𝑥
�
Convém lembrar, também, que, sendo f(x) não negativa em [a, b], ∫� �(𝑥)�𝑥 representa, numericamente, a área da figura delimitada por y = 0, x = a, x = b e y = f(x), como mostra a figura abaixo:

Quando f(x) não for somente positiva, pode-se considerar f(x) em módulo, para o cálculo da área, conforme figura abaixo:

A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com este raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar

�
∫ �(𝑥)�𝑥
�
Existem diversos métodos de integração numérica.
a) Newton-Cotes
b) Regra dos retângulos
c) Regra dos trapézios
d) Regra de Simpson

Aqui somente vamos utilizar a regra dos trapézios.

Seja o intervalo finito [a, b] no eixo x que é particionado em n subintervalos igualmente espaçados [xi, xi+1], com x0 = a e xn = b e hi = xi+1 - xi. Seja f uma função contínua ou simplesmente Riemann integrável, cuja integral não é conhecida.
Numericamente: A regra dos trapézios é obtida aproximando-se f por um polinômio interpolador do