Indução matemátia

Problemas Teoremas
Setembro 15, 2009
Indução matemática
Filed under: Exercícios Matemáticos,Indução matemática,Matemática,Matemáticas Gerais,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 11:49 am
Tags: Exercícios, Matemática
Reuno aqui, para comodidade de leitura, algumas entradas já publicadas sobre o princípio da indução matemática.
§1. Por este princípio, a demonstração da veracidade de uma determinada proposição matemática para todos os inteiros , comporta dois passos:
(1) Verifica-se a sua validade para um dado valor inteiro (normalmente, 0 ou 1) da variável de indução .
(2) Assume-se que é válida para o inteiro e demonstra-se que é também válida para isto é, que .

Vamos demonstrar de seguida o Teorema Binomial por este princípio.
Teorema: Para todo o valor de natural, tem-se

qualquer que seja o valor real de

Demonstração:
O teorema verifica-se para e logo Admitimos agora que o teorema é válido para isto é, que e demonstremos que o é igualmente para Como vem

Manipulamos o segundo membro (lado direito) até obter De facto,

pela identidade de Pascal e porque

Mas, como

provámos, como pretendíamos, que e assim acabámos a demonstração.

A partir do desenvolvimento de deduz-se imediatamente o de

Corolário: Quaisquer que sejam os reais e e o natural é válida a fórmula

Demonstração: Admitamos que
.
Como
,
para tem-se

e

ou seja a fórmula ainda é válida . §2. O Princípio de indução matemática é o seguinte axioma de Peano:
Se o conjunto A, contido em N, for tal que 1 pertence a A e n+1 pertence igualmente a A sempre que n seja elemento de A, então A = N. [N aqui é o conjunto dos naturais 1, 2, 3, ... ].
Uma propriedade P diz-se hereditária quando, sendo verdadeira para o inteiro n, é também verdadeira para o sucessor de n (n+1).
Assim, o Princípio de Indução equivale a afirmar que uma dada proposição, verdadeira para n=1 e hereditária, implica que seja verdadeira para todos os naturais 1, 2, 3, … .