Implementação e comparação de métodos para cálculos de raízes e equações reais

Implementação e comparação de métodos para cálculos de raízes e equações reais

Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Dr. Homero Ghioti da Silva
Alunos:
Evandro Lucas Martins
Jacqueline Campoi Martins
Juliana Albino Alves Vieira
Larissa Guilardi Giroto

10/04/2013

Introdução: Teoria Geral dos Métodos Iterativos

Uma das ideias fundamentais do cálculo numérico é a de iteração ou aproximação sucessiva, ou seja, é a repetição de um procedimento.
Os métodos iterativos possuem uma classe importante que são chamadas Métodos Iterativos Estacionários de Passo Um, que sempre possuirão tais características: - Uma tentativa inicial para a solução do problema deve ser uma aproximação para a raiz.

- Uma equação de iteração do tipo =, onde é uma função a uma variável, denominada função de iteração, que varia de método para método.

-Um teste de parada que indica quando a iteração deve terminar.

Operação: A partir de uma tentativa inicial, x0, para a raiz α, usando a equação de iteração, constrói-se a sequência:

x1=Ø(x0), x2=Ø(x1), x3=Ø(x2),...., xn+1=Ø(xn),.....,

onde

De maneira geral, pode-se ter Métodos Iterativos Estacionários de Passo ‘s’:

e Ø não muda com a iteração.

Outra classe de métodos são os Métodos Iterativos Não Estacionários, em que

e Ø variável com a iteração.

Uma questão importante deve ser considerada em um método interativo: Quando um método converge e como ele converge.
Uma condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos estacionários de passo um é:

- Suponha que a equação de iteração x=Ø(x) tenha uma raiz α e que no intervalo
Jp={x | x-α | ≤ p}, p > 0, Ø´ exista e satisfaça a desigualdade |Ø´(x)| ≤ m < 1. Então, para qualquer x0 Є Jp, tem-se: - xn Є Jp, n=0,1,2,...

-

- α é a única raiz de x=Ø(x) em Jp.

Método da Bissecção

O método da bissecção consiste em reduzir o