Idução Matematica
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Indução Matemática
Princípio da Indução Matemática:
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P(1) verdadeira
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(∀k)[P(k) verdadeira → P(k+1) verdadeira]
•
ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos
O Princípio da Indução Matemática é uma implicação, cuja tese é: “Uma sentença da forma P(n) é verdadeira para todos os inteiros n positivos”.
Portanto, quando desejarmos demonstrar que alguma propriedade é válida para qualquer inteiro positivo n,podemos tentar usar a indução matemática como técnica de demonstração.
Demonstração por indução:
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estabelecemos inicialmente a veracidade da sentença P(1), que é chamada BASE DA INDUÇÃO ou PASSO BÁSICO DA INDUÇÃO
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Estabelecer que P(k) → P(k+1), que é chamado PASSO
INDUTIVO
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P(k) é chamada SUPOSIÇÃO INDUTIVA ou HIPÓTESE INDUTIVA quando assumimos que P(k) é verdadeira com o objetivo de demonstrar o passo indutivo
A indução, apesar do nome, é uma técnica de demonstração dedutiva, isto é, uma forma de demonstrar uma conjectura que possivelmente foi formulada por um raciocínio indutivo.
EXEMPLOS:
2
1. Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n
(1)
para qualquer inteiro positivo n
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A propriedade P(n) é a equação (1) acima (a soma de todos os inteiros positivos ímpares menores que n são igual ao quadrado de n)
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Podemos provar que a equação (1) é verdadeira para um determinado valor de n, pela substituição de n na equação. Contudo não poderemos substituir todos os valores inteiros positivos.
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Demonstração por indução matemática:
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Passo básico
P(1) (o valor da equação (1) quando n assume o valor 1)
2
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1 = 1
Hipótese de indução: assuma que P(k) é verdadeira para um inteiro positivo arbitrário k, que é o valor da equação (1) quando n vale k, ou seja
2
•
1 + 3 + 5 + ... + (2k 1)= k
(2)
Usando a hipótese de indução, queremos mostrar que
P(k+1), que é o valor da equação (1) quando n assume o
2
valor de k+1, é igual (k+1)