holdtch

Cap´ ıtulo 1
Teorema de Holditch
Seja P (θ) : R → R2 uma fun¸˜o vetorial ”muito comportada”. Se o parˆmetro θ ca a sofre uma varia¸ao infinitesimal ent˜o o ponto inicial P (θ1 ) sofre um deslocamento ds1 c˜ a infinitesimal, ou seja, o vetor P (θ1 ) varre uma ´rea dA1 infinitesimal. Considerando que a o vetor P (θ1 ) praticamente n˜o muda seu comprimento nesse deslocamento, calculemos a a ´rea infinitesimal dA1 do triˆngulo infinitesimal ∆OAA1 : a a dA1 =

P 2 (θ1 )sen(dθ1 )
2

(1.1)

Onde P 2 (θ1 ) ´ o quadrado do comprimento de P (θ) para θ = θ1 . Quanto menor for e a varia¸ao dθ1 no triˆngulo infinitesimal ∆OAA1 , mais pr´xima sua area estar´ da c˜ a o ´ a area limitada pelos seus lados e a curva dada e tamb´m melhor ser´ a aproxima¸˜o
´
e a ca sen(dθ1 ) = dθ1 . Ent˜o de forma an´loga formando ”infinitos”triˆngulos infinitesimais a a a consecutivos de v´rtices O, An−1 , An ao logo da curva no intervalo θ1 at´ θ2 e somando e e todas as suas areas infinitesimais, obtemos a ´rea ”exata”varrida e limitada pela curva:
´
a θ2 A= θ1 P 2 (θ).dθ
2

(1.2)

Da geometria euclidiana plana, lembremos do Teorema de Stewart:
P 2 b + G2 a − r2 (a + b) = ab(a + b)

(1.3)

Onde P, G s˜o os lados de de um triˆngulo com ceviana de comprimento r entre eles a a e que divide o lado de comprimento (a + b) na raz˜o a . a b
Dentro da ´rea convexa encerrada pela curva fechada, tome um ponto O que ser´ a a a origem do nosso sistema de referˆncia em coordenadas polares. Agora retomando, e 2 tome P (θ) : R → R uma fun¸˜o vetorial ” muito comportada” mas desta vez, fechada. ca Considere tamb´m P (θ) composta com f : R → R, ou seja, g(θ) = P (f (θ) percorre e 1

2

a mesma traj´toria descrita por P (θ) por´m de tal forma que o vetor G(θ) − P (θ) e e tem comprimento constante, ou seja, ´ um segmento de comprimento, digamos a + b, e percorrendo a curva com extremidades G(θ) e P (θ) nela. Se r(θ) ´ um ponto nesse e a