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UFG - Instituto de Informática
Ciências da Computação

Matemática Discreta
Profa. Márcia Cappelle1

1a Lista de Exercícios – 2014.2
Demonstrações
1. Prove as proposições abaixo. Para cada uma, indique o tipo de demonstração utilizada.
(a) Se a e b são números reais e 0 < a < b, então a2 < b2 .
(b) A soma de dois inteiros ímpares é par.
(c) Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes este inteiro é divisível por 4.
(d) A soma de dois inteiros ímpares é par.
(e) Um inteiro x é par se e somente se x + 1 é ímpar.
(f) O produto de dois inteiros consecutivos é par.
(g) A soma de dois números ímpares consecutivos é divisível por 4.
(h) Sejam a, b e c números reais e a > b. Se ac ≤ bc, então c ≤ 0.
(i) Se a um inteiro positivo, a é par se e somente se 7a + 4 for par.
(j) Mostre que se m + n e n + p são números inteiros pares, em que m, n e p são números inteiros, então m + p é par. 2. Use uma demonstração por contraposição para mostrar que se x + y ≥ 2, em que x e y são números reais, então x ≥ 1 ou y ≥ 1.
3. Prove por contradição:
(a) O produto de inteiros ímpares não é par.
(b) Se x e y são números reais e 25x + 5y = 1723, então x ou y não é um inteiro.
(c) Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é 0.
(d) Se x2 + y = 13 e y = 4, então x = 3.
4. Sejam a, b, c e d inteiros. Responda Verdadeiro ou Falso. Justifique suas afirmações (demonstre ou exiba um contraexemplo). (a) Se a|b e b|a então a = b.
(b) Se b|a e c|a então bc|a.
(c) Se a|c e b|d, então ab|cd.
(d) Se a|b, então a|(bc).
5. Apresente um contraexemplo para cada proposição abaixo:
(a) Se x > 3. Então x2 − 2y > 5.
(b) Se a e b são inteiros, com a|b, então a ≤ b.
(c) Se a, b e c são inteiros positivos com a|(bc), então a|b ou a|c.
6. Considere o teorema seguinte.
Teorema: Suponha que x e y são números reais e x + y = 10. Então, x = 3 e y = 8.
(a) O que está errado na seguinte demonstração do teorema? Prova. Suponha que a conclusão do teorema é