Hiperbólicas

Introdução:

A geometria é uma área da matemática que tem uma grande importância em nosso cotidiano, a partir dela foi possível estudar as formas de tudo que compõe o universo. Quem deu início a este estudo foi Euclides, que escreveu muitas obras sobre o assunto, uma delas denominada “Os elementos”, que possuía treze volumes, cada um tratando sobre um assunto específico. Essa obra trazia toda a geometria que chamamos hoje de geometria euclidiana.

A partir da primeira metade do século XIX, por volta de 1820, Gauss, um grande matemático da época, começou a se interessar por outra geometria que não a de Euclides, pois ela só podia ser aplicada a superfícies planas. Surgiu então a necessidade de se estabelecer uma nova geometria capaz de resolver problemas relacionados a superfícies curvas, levando ao questionamento de algumas afirmações do V postulado de Euclides como, por exemplo: “A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º” e ao postulado das paralelas: “Por um ponto P exterior a uma reta m, consideradas em um mesmo plano, existe uma única reta paralela à reta m”.

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Figura 1

Lázaro Coutinho, Convite às Geometrias não-Euclidianas

A partir de seus estudos, Gauss mostrou que dependendo da curvatura da superfície, a soma dos ângulos internos de um triângulo poderia ser maior ou menor que 180° (figura 2). Com o questionamento do postulado das paralelas surgem dois tipos de geometrias não-euclidianas: a Geometria Hiperbólica e a Geometria Elíptica. A geometria não-euclidiana hiperbólica foi desenvolvida por outros matemáticos, como Janos Bolyai e Nicolai Lobachevsky que também levantaram a questão em relação ao postulado das paralelas, levando-os a estudar o assunto e chegando aos mesmos resultados de Gauss, afirmando que na geometria hiperbólica, dado um ponto qualquer fora de uma reta consideradas em um mesmo plano, existe mais de uma paralela a esta mesma reta. Nicolai dedicou mais de vinte anos à