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CÁLCULO B – ENGENHARIA QUÍMICA – 2º sem 2014 - Profª Bia

ANTIDERIVADAS
Em algumas situações temos que, a partir de informações sobre a variação de certo fenômenos, encontrar a função que descreve o mesmo.
Exemplos:
-medir a taxa de variação segundo a qual a água escoa de um tanque para saber a quantidade total de água escoada durante certo período;
- a partir do conhecimento da taxa segundo a qual uma população de bactérias cresce, deduzir o tamanho da população num tempo futuro
Definição: Uma função F é denominada uma antiderivada de f sobre um intervalo I se para todo x em I.
Exemplos:
Determine uma antiderivada das funções abaixo:
a)

b)

c)

d)

e)

Teorema:Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a antiderivada mais geral de f em I é onde, C é uma constante arbitrária.
Atribuindo valores específicos para a constante C obtemos uma família de funções cujos gráficos são paralelos em relação ao eixo vertical.
A notação é usada para denotar a antiderivada mais geral de chamada integral indefinida. Ou seja

e é

com que
O símbolo é o sinal de integração, é a função integrando e o símbolo identifica a variável independente, da mesma forma como quando usamos a notação para derivar uma função f em relação à variável x. O adjetivo indefinida enfatiza que o resultado da antiderivação é uma função “genérica”.
Observe que, se derivarmos uma antiderivada de

, voltamos a obter

Assim:

ALGUMAS INTEGRAIS IMEDIATAS:

Além disso, valem as propriedades:

Exemplos:
1) Calcule as integrais indefinidas:
a)

b)

e)

c)
f)

2) Encontre
a)
b)
c)
d)

d)
g)

a partir da informação dada:

3) Um objeto move-se ao longo de uma reta coordenada com velocidade unidades por segundo. Sua posição inicial (posição no instante t=0) é 2 unidades à direita da origem. Encontre a posição do objeto 4 segundos depois.