Grupos supersoluveis

Grupos Supersolúveis

Definição: Um grupo G é dito supersolúvel, se existe uma série
G=G0≥G1≥…≥Gn=1
onde Gi⊴G e todos os grupos quocientes GiGi+1 são cíclicos. Note que todo grupo supersolúvel é solúvel, mas nem todo grupo solúvel é supersolúvel. Por exemplo, G=A4 é solúvel, pois 1<V<A4, onde V é o grupo de Klein. Uma vez que V1≃V≃C2 x C2 que é abeliano e não é cíclico e A4V=3. Também não é verdade que N⊴G eGN serem supersolúveis, implica que G é supersolúvel. Por exemplo, A4 não é supersolúvel, porém V eA4V são supersolúveis, onde V é o grupo de Klein.

Exemplos:
1) Se G é abeliano e finitamente gerado, então G é supersolúvel;
2) Todo p-grupo finito é supersolúvel;
3) S3 é supersolúvel;

Proposição: Sejam G, H e K grupos.
1. Se G é supersolúvel, então todo subgrupo e todo quociente de G é supersolúvel;
2. Se H e K são supersolúveis, então H x K é supersolúvel;
3. Se G é supersolúvel finito e N é normal minimal em G, então N=p;
4. Se G é supersolúvel finito e M⋖G, então G:M=p.
Demonstração:
1. Seja G um grupo supersolúvel. Então existe uma série
G=G0≥G1≥… ≥Gn=1 tal que GiGi+1 são cíclicos para todo i∈N.
Vamos montra que se N≤G, então N é supersolúvel. Seja
N=N0=N∩G0≥N1=N∩G1≥… ≥Nn=N∩Gn=1 onde Ni =N∩Gi⊴N. Vale que NiNi+1=NiN∩Gi+1=NiN∩Gi+1∩Gi, já que Gi+1⊴Gi, para todo i=1, 2, 3,…, n. Pelo teorema do isomorfismo obtemos NiN∩Gi∩Gi+1≅Gi+1NiGi+1 ≤GiGi+1que é cíclico. Logo, N é supersolúvel.
Agora, vamos montra que N≤G, então GN é supersolúvel. Seja

Opróximo teorema garante que os grupos supersolúveis possuem uma série normal, onde cada grupo fator GiGi+1é um subgrupo minimal de GGi+1.

Teorema: Um grupo finito supersolúvel G tem uma série G=G0≥G1≥…≥Gn=1, onde cada grupo fator GiGi+1 é cíclico de ordem prima e se GiGi+1 e Gi+1Gi+2são de ordens primas pi e pi+1, respectivamente, temos pi<pi+1.
Dem.:
O teorema a seguir nos fornece algumas informações sobre os fatores principais e sobre os subgrupos maximais de um grupo