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35ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio)
PRIMEIRO DIA

PROBLEMA 1
Seja  um círculo e A um ponto exterior a . As retas tangentes a  que passam por A tocam  em B e C. Seja M o ponto médio de AB. O segmento MC corta  novamente em D e a reta AD corta  novamente em E. Sendo AB = a e BC = b, calcular CE em função de a e b.

PROBLEMA 2
Arnaldo e Bernaldo fazem a seguinte brincadeira: dado um conjunto finito de inteiros positivos A fixado, que os dois conhecem, Arnaldo escolhe um número a pertencente a A, mas não conta a ninguém qual número escolheu. Em seguida, Bernaldo pode escolher um inteiro positivo b qualquer (b pode pertencer a A ou não). Então Arnaldo fala apenas o número de divisores inteiros positivos do produto ab. Mostre que Bernaldo pode escolher b de modo que consiga descobrir o número a escolhido por Arnaldo.

PROBLEMA 3
Encontre todas as funções injetoras f dos reais não nulos nos reais não nulos tais que

para todos reais não nulos com

35ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio)
SEGUNDO DIA

PROBLEMA 4
Encontrar o maior valor de n para o qual existe uma sequência de algarismos não nulos (ou seja, ) tal que, para todo o número de k dígitos divide o número de k + 1 algarismos

PROBLEMA 5
Seja x um número irracional entre 0 e 1 e sua representação decimal. Para cada seja a quantidade de sequências distintas de k algarismos consecutivos na representação decimal de x. Prove que para todo k inteiro positivo.

PROBLEMA 6
O incírculo do triângulo ABC toca os lados BC, CA e AB nos pontos D, E e F respectivamente. Seja P o ponto de interseção das retas AD e BE. As reflexões de P em relação a EF, FD e DE são X, Y e Z, respectivamente. Prove que as retas AX, BY e CZ têm um ponto comum pertencente à reta IO, sendo I e O o incentro e o circuncentro do triângulo ABC.