Green

Capítulo 6

TEOREMA DE GREEN
Nesta seção apresentaremos uma versão simplificada de um dos teoremas clássicos da Análise Vetorial, o teorema de Green. Utilizaremos alguns argumentos intuitivos aceitavéis, que formulados rigorosamente fogem dos objetivos destas notas.

Definição 6.1. Uma região fechada e limitada D ⊂ R2 é simples se ∂D = C é uma curva fechada simples. C
C

D

D

Figura 6.1: A região à esquerda não é simples; a da direita é simples..
Notamos que, em geral, uma região simples pode ser bastante "complicada".
A seguir daremos a idéia intuitiva (imprecisa) de como orientar a curva ∂D

Definição 6.2. A curva C = ∂D está orientada positivamente se é percorrida no sentido anti-horário.
(D fica à esquerda, ao se percorrer ∂D = C ).
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CAPÍTULO 6. TEOREMA DE GREEN

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D

D

−

C+

C

Figura 6.2: Regiões orientadas.
Teorema 6.1. (Green) Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, D uma região simples, C = ∂D orientada positivamente, tal que D ⊂ A e F : A −→ R2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções coordenadas (F1 , F2 ). Se C = ∂D tem uma parametrização de classe C 1 por partes e está orientada positivamente em relação a D, então:
F=
D

∂D

∂ F2 ∂F1
−
dx dy
∂x
∂y

Nós provaremos no apêndice o teorema de Green, numa versão particular, para regiões chamadas elementares.
Corolário 6.2. Nas hipóteses do teorema de Green, se F é um campo conservativo, então
F =0
∂D

A prova segue diretamente do teorema de Green.
Corolário 6.3. Nas hipóteses do teorema de Green, a área da região D é dada por: x dy

A(D) =
∂D

ou ii)A(D) = −

y dx
∂D

ou
A(D) =

1
2

∂D

x dy − y dx

Prova: Basta considerar o campo F (x, y ) = (−y, x) e aplicar o teorema de Green para obter:
A(D) =

1
2

∂D

x dy − y dx.

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Exemplo 6.1.
[1] Utilizando o teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
√

1.

y dx +

√

x dy , onde γ é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a