Grafico de derivada

Gráficos

1) f(x) = 8x²-x^4 a) Domínio: Reais
b) Intersecção com os eixos:

Int. eixo x -> y=0
8x²-x^4 = 0 x²(8-x²) = 0 x=0, ou x²=8 x= +/-raiz(8) x= +/-2raiz(2)

P1 = (0,0) e P2 = (+/-2raiz(2),0)

Int. eixo y -> x=0 y = 8*0²-0^4 y =0

P = (0,0)

c)Pontos Críticos: f(x) = 8x²-x^4 f'(x) = 2*8x-4x³ f'(x) = 16x-4x³

igualar a zero:

16x-4x³ = 0

x(16-4x²)=0 x=0, -> p.c ou
16-4x²=0
4x²=16 x = raiz(16/4) x = +/- 2 -> p.c

testar os pontos críticos no f(x): p/x= -2: f(-2) = 8x²-x^4 f(-2) = 8*(-2)²-(-2)^4 f(-2) = 32-16 f(-2) = 16 par ordenado: (-2,16)

p/x= 2: f(2) = 8x²-x^4 f(2) = 8*2²-2^4 f(2) = 32 - 16 f(2) = 16 par ordenado: (2,16)

p/x= 0 f(0) = 0

par ordenado: (0,0)

d) Crescimento e descrescimento: (testar valores maiores/menores que os pontos críticos e olhar o sinal de f'(x)):

valor < (-2): f'(x) = 16x-4x³ f'(-3) = 16*(-3)-4*(-3)³ f'(-3) = -48-(-108) f'(-3) = 60 < 0 (sinal positivo antes do -2)

valor > (-2): f'(x) = 16x-4x³ f'(-1) = -16*(-1)-4*(-1)³ f'(-1) = -16+4 f'(-1) = -12 < 0 (sinal negativo depois do -2)

valor > 0: f'(x) = 16x-4x³ f'(1) = 16*1-4*1³ f'(1) = 16-4 f'(1) = 12 (sinal positivo depois do 0)

valor > 2: f(x) = 8x²-x^4 f(3) = 8*9-81 f(3) = -9 (sinal negativo depois do 2)

portanto: (-2,16) -> ponto de máximo (0,0) - > ponto de mínimo (2,16) -> ponto de máximo

A função cresce: (-inf, -2); (0,2)
A função decresce: (-2,0); (2,+inf)

e) Concavidade: (verificar o sinal da f''(x)) f'(x) = 16x-4x³ f''(x) = 16 - 12x²

igualar a zero:

16-12x²=0
12x²=16
x²=16/12 x²=4/3 x=raiz(4/3) x= +/- 2raiz(3)/3

valor < (-2raiz(3)/3) = (-1,15): f''(x) = 16 - 12x² f''(x) = 16 - 12*(-2,15)² f''(x) = 16 - 12*4,6225 f''(x) = 15 - 55,47 f''(x) = -39,47 (sinal negativo antes do ponto)

valor > (-2raiz(3)/3): f''(x) = 16 - 12x² f''(x) = 16 - 12(-0,15)² f''(x) = 16 - 12*(0,0225) f''(x) = 16 -