graduação

INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Definição 1: Se f(x) é contínua no intervalo (a, c], dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, c] converge e é igual ase este limite existe (e é finito), caso contrário dizemos que a integral de f(x) em [a, c] diverge.
Observação: Se f(x) é contínua em [a,c] então a integral imprópria de f(x) neste intervalo coincide com a integral definida. Isto ocorre porque a função
Portanto faz sentido usarmos para integrais impróprias a mesma notação usada para integrais definidas.
Notação:
Exemplo1: Estude a convergência da integral
A funçãonão está definida em x = 1 (veja seu gráfico ao lado) Logo,

Definição 2: De modo análogo, se f(x) é continua no intervalo [a, c), dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, c] converge e é igual acaso este limite seja finito. Caso contrário dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, c] diverge.
Exemplo 2: R que represente a área da região do plano limitada pela curva y = 1/x , o eixo OY , o eixo OX e a reta x = -1.Verifique se existe um número k
A funçãoe não está definida em x = 0.
Temos ao lado uma representação gráfica da área.
O número k existe se, e somente se, a integral imprópria
Temos,
Portanto não existe k.

Exemplo 3: Estude a convergência da integralA função x.ln|x | não está definida em x = 0 e é contínua em [-1, 0).
Temos,Usando integração por partes (na integral definida) .0 " e emtemos uma indeterminação do tipo " . /temos uma indeterminação do tipo
Aplicando L´Hospital,
Portanto,
Definição 3: Se f(x) é continua nos intervalos [a, c) e em (c, d] , dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, d] converge e é igual a soma das integrais imprópriascaso estas integrais sejam ambas convergentes . Caso contrário dizemos que a integral imprópria de f(x) em [a, d] diverge.
Exemplo 4: Estude a convergência da integral
A funçãonão está definida em x = -1 e é contínua em [-2, -1) e em (-1, 0]
Tomemos as integrais impróprias
TemosCom a mudança