Glauberdmo

CÁLCULO NUMÉRICO - Lista de Exercícios 5
INTEGRAÇÃO

1. Calcule as intergrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e comapre com o valor exato, quando for possivel.
2

(a)

exp(x)dx
1
4

(b)

√

xdx

1
14

(c)
2

dx
√
x

2. Usando as integrais do exercício anterior, com quantas divisões do intervalo, no mínimo, podemos esperar obter erros menores que 10− 5?
0.6

3. Calcule o valor aproximado de
0

e trapézios.

dx com três casas decimais de precisão usando Simpson
1+x
4

4. Qual o erro máximo cometido na aproximação de

(3x3 − 3x + 1)dx pela regra de Simpson

0

com quatro subintervalos? π/2 5. Determinar h para que se possa avaliar

cos(x)dx com erro inferior a = 10−3 pela regra de

0

Simpson.

6. Calcule, pela regra dos trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que dado: π (a)

esin(x) dx, = 10−2

0 π/2 (b)

(sin(x))1/2 dx, = 10−4

1

7. (a) Comprove gráca e analiticamente que se:
(i) f é contínua em [a, b], e
(ii) f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b], b então, a aproximação obtida para

f (x)dx pela regra dos Trapézios é maior do que o

a

valor exato da integral. Considere n = 1
1

(b) Sabendo que f (x) = e +x satisfaz as condições acima em [0, 1], e que I = x (ex +x2 )dx =

2

0

2.051, comprove que a conclusão do ítem (a) é válida também para a regra dos Trapézios composta, calulando I com erro inferior a 5 × 10−2 .

1

8. Deduza a fórmula de integração da forma
1

f (x)dx ≈ w0 f (−0.5) + w1 f (0) + w2 f (0.5)
−1

9. Calcule π da relação

π
=
4

1
0

dx com erro de 10−3 por Simpson.
1 + x2

2