Giovanii

Em 1733, Giovanni Saccheri, que estava empenhado em encontrar contradições em geometrias que não se utilizassem do quinto postulado, acabou abrindo caminho para que outros matemáticos, como Lobachevsky, Bolyai, Gauss e Riemann aprofundassem os estudos e descobrissem geometrias onde o postulado das paralelas não é válido, trazendo resultados muito importantes para a Matemática e a Física.
Essas geometrias começaram a serem estudadas por Girolamo
Saccheri (1667-1733) que publicou uma série de teoremas, concluindo ter chegado a uma contradição do quinto postulado de
Euclides, que aparece na obra de Euclides intitulada Elementos. Mas, após essa publicação, Saccheri veio a falecer, permanecendo sua obra esquecida. Desde a publicação dos Elementos, havia suspeitas que o seu quinto postulado poderia ser demonstrado utilizando os quatros postulados anteriores, e muitos foram os matemáticos que tentaram demonstrá-lo, mas só por volta de 1830 surgiram suspeitas que talvez outras geometrias pudessem ser desenvolvidas contradizendo o postulado das paralelas e, portanto, ele não poderia ser demonstrado a partir dos outros.
A não existência de prova do quinto postulado de Euclides levou os matemáticos a interpretar que este não é uma conseqüência dos outros quatro anteriores, e ao substituí-los poderiam criar uma geometria consistente como a de Euclides.
O húngaro János Bolyai (1802-1860) e o russo Nicokolai
Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) publicaram, independentemente a descoberta de geometrias não-euclidianas, ou seja, neste caso geometrias que negavam o postulado das paralelas descrito por
Euclides.
As publicações de Bolyai e Lobachevski não foram suficientes para convencer o mundo matemático da possibilidade das geometrias não-euclidianas. Esses trabalhos eram parecidos com os de Saccheri, negando o postulado das paralelas, demonstrando uma série de teoremas sem chegarem a contradições.
3Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) teve o