Ginasio
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CDI-I3a Ficha (parte 2) - 11a e 12a Aulas Práticas
III. Primitivas de Funções Racionais.
1
(x+1)(x 2)
1)
A x+1 =
A = 13
:
B = 31
Logo,
Z
=
1
3
1
(x+1)(x 2) dx
=
log jx + 1j +
1
3
x4
1 x
3)
=
x4 x 1
B x 2
() 1 = A (x 2) + B (x + 1) ()
A+B =0
A= B
2A + B ()
()
2A + B = 1
3B = 1
() 1 = (A + B) x
+
Z
1
3
x+1
log jx
+
1
3
x 2
2j =
1
3
1
3
dx =
log
jx 2j jx+1j Z
1 x+1 dx
= log
r
3
+
x 2 x+1 1
3
Z
1 x 2 dx
()
=
:
.
4
x x 1
é uma fracção racional imprópria (o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador).
Usemos a Regra de Ru¢ ni para dividirmos x4 por x 1, obtendo um polinómio e uma fracção racional própria (o grau do numerador é menor que o grau do denominador):
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Sendo assim, x4 = (x 1) x3 x2 x 1
1.
Logo, x4 = x3 x2 x 1 x 1 1 ,
Zx 1
Z
Z
Z
Z x3 x2 x 1 x 1 1 dx = x3 dx x2 dx xdx 1dx
Z
1 x 1 dx =
=
x4
4
x3
3
x2
2
x
log jx
1j .
5) x2 + x + 1 não tem raízes reais.
Escrevamos x2 + x + 1 na forma (x x2 + x + 1 = x2 + 2x 21 + 14 + 1
= x
1
2
2
+
p
3
2
2
2
1
4
.
1
p) + q 2 :
2
= x + 12 +
3
4
=
Logo,
Z
1 x2 +x+1 dx
=
=
1
p
3
2
Z
p
2 3
3
8)
Z
=
1 p 3
2
1+
(p 12 )
arctan
p
2 3
3
x
3
2
2x
(x2 1)(x+1)
1
(x (
!2 dx
x+
=
=
1
2
1
2
2
))
p2
3
+
p
3
2
1
2 dx =
arctan
x
(p
p
3
2
1
2
)
3
2
2
Z
=
1 x 1+ p2 3
(p 12 )
3
2
arctan
!2 dx
p2
3
=
x+
1
2
=
.
2x
(x 1)(x+1)2
=
A x 1
+
2
B1 x+1 +
B2
(x+1)2
()
() 2x = A (x + 1) + B1 (x 1) (x + 1) + B2 (x 1) ()
() 2x = A x2 + 2x + 1 + B1 x2 1 + B2 (x 1) ()
2
() 2x
82 ) x + A B1 B2 ()
8 = (A + B1 ) x + (2A