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Cálculo do cofator
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, muitas vezes, pode ser simplificado utilizando algumas propriedades e teoremas. O cofator é um elemento que facilitará esses cálculos quando aplicado ao Teorema de Laplace. Vamos definir o que é o cofator.
Considere uma matriz quadrada M de ordem n ≥ 2 e seja aij um elemento de M. Denomina-se cofator de aij o número Aij tal que Aij = (-1)(i+j)∙Dij. Onde Dij é o determinante da matriz obtida de M após ter eliminado sua i-ésima linha e j-ésima coluna.
Lendo a definição parece se tratar de um cálculo complexo, mas é muito simples. Vejamos alguns exemplos para melhor compreender a definição e como realizar o cálculo do cofator.
Exemplo 1. Dada a matriz M abaixo, qual é o cofator do elemento a23?

Solução: Queremos determinar o cofator do elemento a23. Dessa forma, temos que i = 2 e j = 3. Teremos, então, que eliminar a 2ª linha e a 3ª coluna de M:

Assim, obtemos:

Portanto, o cofator do elemento a23 é A23 = – 3.

Exemplo 2. Calcule o cofator do elemento a41 da matriz A abaixo.

Solução: Queremos determinar o cofator do elemento a41. Assim, temos que i = 4 e j = 1. Teremos que eliminar a 4ª linha e a 1ª coluna de A:

Segue que:

Portanto, o cofator do elemento a41 é A41 = – 4.

Exemplo 3. Qual o cofator do elemento a22 da matriz G abaixo?

Solução: Como queremos determinar o cofator do elemento a22, temos que i = 2 e j = 2. Dessa forma, teremos que eliminar a 2ª linha e a 2ª coluna da matriz G:

Segue que:

Portanto, o cofator do elemento a22 é A22 = 22.

Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para