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Para multiplicar um número k qualquer por uma matriz m×n A, basta multiplicar cada entrada a_{ij} de A por k. Assim, a matriz resultante B será também m×n e b_{ij} = k \cdot a_{ij}.

Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
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Exemplo

2 \begin{bmatrix} 9 & 1 & -2 \\ 1 & -5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 9 & 2\times 1 & 2\times (-2) \\ 2\times 1 & 2\times (-5) & 2\times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 2 & -4 \\ 2 & -10 & 6 \end{bmatrix}

É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.

A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:

Associativa em relação ao Escalar: (k_1 \cdot k_2) \cdot A = k_1 \cdot (k_2 \cdot A) Distributiva em relação ao Escalar: (k_1 + k_2) \cdot A = k_1 \cdot A + k_2 \cdot A Distributiva em relação à Matriz: k_1 \cdot (A + B) = k_1 \cdot A + k_1 \cdot B Elemento Neutro: 1 \cdot A = A

Adição de Matrizes

A adição de matrizes é outra operação bastante simples.

Definição

Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.
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Exemplo

\begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 & 5 \\ 2 & 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 8+6 & -3+5 \\ 4+2 & -2+5 & 5+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 14 & 2 \\ 6 & 3 & 12 \end{bmatrix}

Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.

A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:

Propriedade Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A (0 é uma Matriz Nula, não um escalar) Simétrico Aditivo: -A + A