Geometriamar - análise combinatória

Geometria
DESAFIOS DE GEOMETRIA - SOLUÇÕES 1Determine x, sendo AD = AC e AB = DC . A 100º

Prof. Marcelo Lopes www.geometriamar.com.br ˆ  A do ∆ACE = 70º  ˆ  E do ∆BDE = 20 º  ˆ ˆ  A + E = 90º 
Então ficamos com: ⇒ BE = D 140º 40º x 40º

Geometria

ˆ ˆ  cos( A ) = sen(E)  ⇒  sen( 20º ) = cos(70 º ) 

a × (sen140 º ) 2 × ( sen70º )(cos 70º )

C

⇒ BE =

a × (sen140º ) =a ( sen140 º )

B (1ª Solução) A
30º 70º

Portanto, o triângulo BEC é isósceles também, pois BE = CE = a ,

ˆ ˆ com angulo central BEC = 180º −BED = 180º −20 º = 160º . ˆ Como o triangulo BEC é isósceles, com angulo central BEC = 160º , os ângulos da base iguais a x, que é o que queremos saber desde o início, temos que:
40º

a D b B
140º

a a x

40º

b
E

70º

⇒ 2 x + 160º = 180 º ⇒ x = 10º
C (2ª Solução) A

a

Faremos o seguinte... Temos que: (dando nome aos bois) a

40º

60º

a (a + b) x

⇒ AC = AD = a    ⇒ AB = CD = a + b  ⇒ DB = b  b Traçamos um segmento de reta, partindo do vértice A, com uma inclinação de 70º em relação a AC , até tocar o segmento CD no ponto que denominaremos de E, formando assim o segmento AE . Note que formamos um triangulo isósceles ACE, com angulo central B

D
140º

a
40º

40º

C a
10º

100º

60º

a
10º

P

ˆ ACE = 40º . Assim, concluímos que CE = a , e como CD = a + b , DE = b ;
Traçamos outro segmento de reta partindo do ponto E até o vértice B, formando o segmento BE . Note também que o triangulo formado Resolução pelo triângulo eqüilátero. Faremos o seguinte...

AD = AC = a e DB = b , donde chegamos CD = a + b . ˆ Tracemos AP com AP = a , de modo que CAP = 60º
Obtemos desta forma o triângulo equilátero APC de lado a.

ˆ BDE é isósceles, com angulo central BDE = 140º , e BD = DE = b ;
Utilizando a Lei dos senos nos seguintes triângulos:

 BE  b I ⇒ BDE ⇒  = sen20 º sen140º  

⇒ BE =

b × (sen140º ) sen20 º

Consideremos agora os triângulos PAB e ACD.Note que