geometria

Cap´ıtulo 28
Integrais Impr´ oprias 28.1

Introdu¸c˜ ao ∫b
A existˆencia da integral definida a f (x) dx, onde f ´e cont´ınua no intervalo fechado [a, b], ´e garantida pelo teorema fundamental do c´ alculo. Entretanto, determinadas aplica¸c˜oes do C´alculo nos levam a formula¸c˜oes de integrais em que: ao n˜ao ´e limitado;
1. ou o intervalo de integra¸c˜
2. ou o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b].
Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e definir e calcular integrais deste tipo, chamadas integrais impr´ oprias. 28.2

Exemplos
∫

A integral

∞

e−x dx ´e um exemplo do caso 1, acima.
2

0

Podemos interpretar, geometricamente, esta integral como a ´area da regi˜ao n˜ao-limitada abaixo da curva y = e−x , acima do eixo x e `a direita do eixo y.
2

1
0.8
0.6 y 0.4
0.2
0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 x 1.2 1.4 1.6 1.8

2

Como esta regi˜ao ´e ilimitada, poder´ıamos esperar que a sua ´area tamb´em o fosse. No entanto, o gr´afico parece indicar que a partir de x = 2 a ´area sob a curva ´e muito pequena e diminui cada vez mais `a medida que ∫x aumenta.
2

Dessa maneira ´e poss´ıvel esperar que, a partir de x = 2, os acr´escimos `a ´area representada pela integral
0

e−x dx
2

sejam t˜ao pequenos que a ´area total da regi˜ao n˜ao ultrapasse um determinado valor. De fato, avaliando a integral
∫ b
2
e−x dx, para b = 2, temos
0
>

evalf(int(exp(-x^2),x=0..2));
.8820813910

Continuando a calcular o valor desta integral para valores de b sucessivamente maiores, obtemos evalf(int(exp(-x^2),x=0..5)); .8862269255
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..6));
.8862269255
> evalf(int(exp(-x^2),x=0..10)); .8862269255
>
evalf(int(exp(-x^2),x=0..15));
.8862269255

>

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Cap. 28. Integrais Impr´oprias

Repare que a partir de b = 5 o valor da integral, calculado com 10 d´ıgitos, se estabiliza e parece convergir para um determinado valor. Como o integrando ´e estritamente positivo, o