Geometria

Geometria 11º. Ano
Definição:
O produto escalar de dois vectores não nulos u e v é

(

u .v = u × v × cos u ɵv

)

u .v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v 3

Também pode ser expresso em coordenadas:
(u = (u1 , u2 , u3 ) ; v = (v1 ,v2 ,v3 ) )

Ângulo de dois vectores:
Sempre que pretendemos calcular o ângulo de dois vectores usamos a fórmula:

(

)

cos u ɵv =

u .v u × v

se 0º ≤ u ɵv ≤ 90º

Ângulo de duas rectas:
Duas rectas r e s concorrentes e não perpendiculares, chama-se ângulo de duas rectas ao menor ângulo ( α ) por elas definido.

(

cos α = cos u ɵv

)=

u .v u × v

Rectas
Um vector director da recta Equação vectorial

Equações paramétricas Equações cartesianas
Equação geral
Equação reduzida

Prof. Eva Figueiredo

λ ∈ IR
x = x 0 + λ u1

y = y 0 + λ u2 , λ ∈ IR
z = z + λ u
0
3

x − x0 y − y0 z − z0
=
= u1 u2 u3 Ax + By + C = 0 y = mx +b

www.matematica.com.pt

(u1 , u2 , u3 )

( −u2 , u1 , 0 )
( −u2 , u1 , 0 )

(u1 , u2 , u3 )

( −u2 , u1 , 0 )

( −B , A )

(A, B )

(1, m )

( x , y , z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + λ (u1 , u2 , u3 ) ,

Um vector director da recta perpendicular (u1 , u2 , u3 )

Equação

( −m,1 )

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Geometria 11º. Ano

Posição relativa de duas rectas r e s:
Paralelas

Reduzida

Geral

Vectorial

Tipo de
Equações

Concorrentes

Coincidentes

Estritamente

u1 u2 u3
=
= v1 v2 v3

P0 ≡ Q0

s :A1 x + B1 y + C1 = 0

B
A C
=
=
B1 A 1 C1

B
A C
=
≠
B1 A 1 C 1

r :y = m x + b

m = m1

m = m1

s : y = m 1 x + b1

b = b1

α =π2

u1 u2 u3
=
= v1 v2 v3

P0 ≡ Q0

Perpendiculares

b ≠ b1

r : P = P0 + λ (u1 , u2 , u3 ) , λ ∈ IR s : Q = Q0 + k (v1 ,v2 ,v3 ) , k ∈ IR

u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 =
=0

r :Ax + By + C = 0
A A1 + B B1 = 0

m1 = −

1

m

Notas: (para resolver exercícios)
1. Quando nos pedem para provar que um triângulo é rectângulo,