Geometria

MAT0105 - GEOMETRIA ANAL´
ITICA
LICENCIATURA EM F´
ISICA (DIURNO)
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2011
TERCEIRA LISTA

(1) Ache a interse¸˜o da reta que passa pelos pontos (0, 0, 1) e (1, 1, 0) com a ca 2 esfera de centro (1, 1, 1) e raio 1. Resp.: {( 1 , 1 , 3 ), (1, 1, 0)}.
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(2) Seja r a reta que passa pelos pontos (0, 0, 2) e (1, 1, 0), e seja s a reta que passa por (3, 0, 0) e por (0, 3, 0). Mostre que r e s s˜o reversas. a (3) Seja r a reta que passa pela origem e ´ perpendicular ` esfera x2 + y 2 + z 2 = e a
2x + 4y + 4z. Ache a interse¸˜o de r com o plano z = 100. ca Resp.: {(50, 100, 100)}.
(4) Ache a equa¸˜o da esfera que tem centro em (3, 4, 5) e ´ tangente ao plano ca e
OXY . Resp.: (x − 3)2 + (y − 4)2 + (z − 5)2 = 25.
(5) Ache o centro e o raio da esfera x2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y + 6z = 2.
Resp.: O centro ´ (−1, −2, −3) e o raio ´ 4. e e
(6) Dados A = (2, 0, −1), B = (1, 2, 0), C = (−2, 1, −1) e D = (0, 0, 1), ache o
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cosseno do ˆngulo formado pelos vetores AB e CD. Resp.:− 3√6 . a (7) Sejam A = (−1, −1, −1), B = (1, 0, 0), C = (0, 2, 1) e D = (1, 1, 1). Sabendo que AB, AC e AD s˜o arestas de um prisma cujas faces s˜o paralea a logramos, ache o v´rtice oposto a A neste prisma. Resp.: (4, 5, 4). e (8) Mostre que, para todo t ∈ R, o ˆngulo formado pelos vetores (1, 1, t) e a (1, 1, 0) ´ agudo. Para que valores de t o ˆngulo ´ igual a 45o ?. e √ a e
√
Resp.: t = 2 ou t = − 2.
(9) Os pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) s˜o v´rtices de um tetraedro regular. a e
Ache o quarto v´rtice, sabendo que ele n˜o est´ no primeiro octante. e a a Resp.: (− 1 , − 1 , − 1 ).
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(10) Seja r a reta que passa pelos pontos (0, 0, 1) e (1, 3, 0), e seja s a reta que passa por (1, 0, 0) e por (0, 3, 1). Mostre que r e s s˜o concorrentes. Ache a o ponto de interse¸˜o e o cosseno do ˆngulo que elas formam. Este ˆngulo ca a a ´ maior ou menor que 45o ? Resp.: O ponto ´ ( 1 , 3 , 1 ), o cosseno ´ 11 , o e e 2 2 2 e 7