Geometria

UNIVERSIDADE DE CABO VERDE Departamento de Ciência e Tecnologia
Ano Lectivo: 2010/2011 − 2º Semestre

TESTE Nº1 de GEOMETRIA II Duração: 1h40mn Data: 20 de Maio de 2011 GRELHA DE CORRECÇÃO

1. (25 pontos) Mostre que, no Plano Euclidiano ℛ , duas rectas sse têm a mesma direcção; RESOLUÇÃO

e são paralelas

Sejam e duas rectas do plano euclidiano ℛ , com direcção respectivamente. Mostrar que: ∥ sse
ª

e

,

Vai mostrar-se a segunda parte e a partir daí concluir a primeira. ≠ (1) Se ∦ ⇒ Com efeito, se ∦ , então e incidem num ponto, diga-se . Logo = + e = + , consequentemente, ≠ , pois, caso contrário, seria igual a . ≠ (2) Se ⇒ ∦ forma uma base. Sejam: Como ≠ , então não é proporcional a , logo , = + e = + , com ≠ , caso contrário, ter-se-ia ∦ , o pretendido. Sendo assim, − = + , para algum ∈ ℝ e algum ∈ ℝ, pois , é uma base de ℝ . Tem-se, então: − = + ⇔ − , = + o que significa que e incidem no ponto 1.1 (20 pontos) Mostre que o plano euclidiano ℛ − que é um plano afim − satisfaz o axioma do plano afim: “Por toda linha e todo ponto não incidente com existe uma e uma só linha que incide com e é paralela a ”. RESOLUÇÃO Seja uma linha com direcção e um ponto não incidente com . Existência: A recta = + é paralela a , pois tem a mesma direcção. Unicidade: Qualquer recta paralela a e que incide com é igual a , pois . = +
∈

=

⟺

∦ sse
ª

≠

=

−

∈

=

+

, logo ∦ .

HORTA, JCL

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UNIVERSIDADE DE CABO VERDE Departamento de Ciência e Tecnologia
Ano Lectivo: 2010/2011 − 2º Semestre

TESTE Nº1 de GEOMETRIA II Duração: 1h40mn Data: 20 de Maio de 2011 GRELHA DE CORRECÇÃO

2. (30 pontos) Considere o plano de incidência de Moulton. O suporte é ℝ , mas as linhas são de três tipos diferentes, definidas por equações da forma: = (linhas rectas verticais de ℛ ); = + , com , ∈ ℝ, ≤ 0 (linhas rectas de ℛ com declive negativo ou nulo) e = 2 + + ≤0 >0 com , ∈ ℝ, > 0 (linhas quebradas).

Determine e represente graficamente as