Geometria métrica

Módulo 2
Disciplina MA004 – Geometrias Métrica e Espacial, Trigonometria Plana
Tema 2 – Geometria Métrica e Espacial, Formas espaciais e Relações Métricas
Data de entrega: 02/03/2012 (04/03/2012 valendo 70% da nota)

1. Resolva os itens abaixo:
a) (3,0) Um poliedro possui uma face pentagonal e 15 faces triangulares. Determine o número de a-restas e o número de vértices desse poliedro. (Use a relação de Euler)
b) (3,0) Um cone de geratriz medindo cm está inscrito em um cilindro cuja área da seção meridi-ana é igual a cm2. Determine a medida do raio da base do cone.

2. Uma pirâmide de base pentagonal regular é seccionada por um plano paralelo à sua base e que passa pelos pontos médios de suas arestas, ficando assim determinada uma nova pirâmide pentagonal regular, com altura igual à metade da altura da pirâmide inicial.
a) (2,0) Determine as áreas das bases das pirâmides inicial e nova e a razão entre estas áreas.
Resposta:
A é a medida da aresta do pentágono maior, cuja área é dada por:
A1 = 5a²/4 cotg 36º
Para calcular a área do pentágono menor será conveniente expressar a medida de sua aresta em função da medida da aresta do pentágono maior.
Para o triangulo cuja base mede a/2sen36º (distancia do vértice ao centro do pentágono maior) e a hipotenusa é a medida l da aresta da pirâmide juntamente com seu semelhante cuja base é a aresta do pentágono menor e a hipotenusa mede , pois o plano fez o corte no ponto médio das arestas laterais, pela semelhança escrevemos:

agora podemos calcular a área do pentágono menor:

e por fim a razão será:

b) (2,0) Determine também a razão entre seus volumes.